Introducció a la geometria fractal

Parlar de recursivitat és parlar de realimentació, un concepte clau en molts camps: l'electrònica, la geometria, la programació i especialment en la major part dels sistemes de la Naturalesa. La realimentació és un concepte típicament cibernètic: fa possible l'auto regulació (el metabolisme, els processos de pensament ...) i, per tant, la vida mateixa. La naturalesa és, de fet, essencialment no lineal: les "regles de tres" (les proporcions) solen ser una excepció en els sistemes vius. La geometria d'aquests processos no es deixa governar per la geometria diferencial de corbes i superfícies: l'anàlisi matemàtica estàndard falla en trobar-nos amb una munió de punts sense derivada. N'hi ha prou a observar una estona els rius, els arbres, les muntanyes i els núvols per concloure que, en realitat, les corbes suaus i les superfícies llises i còmodes només són una aproximació: de seguida ens adonem de la fractalitat pròpia del que observem a cada pas. Les nines russes, les conegudes joguines decoratives, són una bona paròdia de la recurrència (vegeu el video sobre el triangle de Sierpinsky). La propietat d'invariància d'escala o autosimilitud (sibisemblança) és una característica pròpia de les fractals matemàtiques les quals, en molts casos, constitueixen models acceptables (si més no en primera aproximació) de molts objectes de la naturalesa que presenten certa complexitat, tant en aparença com, de fet, en l'aspecte funcional ja que, precisament, la funció justifica les formes que optimitzen l'empaquetament, com ara el sistema d'alvèols pulmonars, la configuració de la xarxa neuronal, o bé les configuracions de les marismas del Guadalquivir (vegeu el video a sota), per posar només tres exemples; realment, en descobrireu per tot només que sortiu al carrer i observeu atentament. Tot i que alguns dels objectes que actualment anomenem fractals clàssiques, com ara el triangle de Sierpinsky (vegeu el video de la dreta) ja van ser estudiats a començament de segle vint, no fou fins els anys setanta, que el matemàtic francès Benoit Mandelbrot, treballant en un centre de recerca d'IBM amb senzills algorismes recursius, topà amb objectes geomètrics que, generats de forma recurrent a partir d'un motiu geomètric amb punts sense derivada, mostraven una complexitat sorprenent. Aquells algorismes tenien tots un conjunt molt reduït de passos i eren fàcilment implementables en un ordinador. En visualitzar els resultats en les pantalles gràfiques comprovava fàcilment propietats força interessants, algunes de les quals ja van ser enunciades quasi cent anys abans per matemàtics com ara Cantor, Koch i Julia, entre altres. Aquells objectes suposaven un repte per a l'anàlisi matemàtica de començament de segle atès que eren qualificats d'estranys per no ajustar-se als teoremes que seguien les dòcils funcions analítiques. Fent ús dels ordinadors es proposà estudiar amb profunditat aquest tipus d'objectes gemètrics i començà a posar les bases del que entenem actualment per geometria fractal. En poder visualitzar gràficament els resultats en un monitor, s'adonà que es podien obtenir i explorar complexitats sorprenents repetint una sentència composta força simple: "La naturalesa, sovint, sembla actuar d'aquesta manera", pensaria Mandelbrot ... I nasqué el concepte de fractal i, amb ell, una nova geometria, la geometria fractal. Un dels trets característics d'aquests objectes rau en el fet que la seva dimensió geomètrica no és, necessàriament, un nombre enter, la qual cosa els fa més propers -- com a models matemàtics -- a moltes formes i estructures de la naturalesa: núvols, brancatges, xarxes, perfils costaners, etcètera. Poc després dels treballs de Mandelbrot, els físics, estudiant els sistemes dinàmics, s'adonaren que la geometria fractal està íntimament lligada amb els sistemes que presenten caos determinista. De fet, i de forma gairebé aïllada, d'això en fou conscient ja cent anys abans un dels grans matemàtics de la història, Henry Poincaré. En estudiar les evolucions d'un sistema dinàmic en l'espai de les fases, hom troba objectes geomètrics que, avui, són anomentas atractors estranys perquè, a diferència dels atractors clàssics, quan es detecta caos, la dimensió d'aquests objectes enrevessats no és, necessàriament, entera, tal i com també succeeix amb les fractals clàssiques que tindrem oportunitat de construir. A més a més, de vegades, es dóna la circumstància que aquests objectes solen presentar una propietat d'autosemblança o invariància d'escala la qual cosa, sigui dit de passada, sempre es dóna en les fractals clàssiques que ja he dit que veuriem més endavant. Per altra banda, les fractals no tenen derivada definida en cap punt i, alguns d'ells, passen per tots els punts de l'espai topològic que els suporta. La geometria fractal sembla reproduir força bé moltes formes de la naturalesa: els núvols, les formes de l'escuma, les línies costaneres, les turbulències dels fluïds, la forma de les plantes, etcètera. Aquesta geometria s'ha revelat per tant com una geometria molt apropiada per a l'estudi dels sistemes dits complexos i en particular els fenòmens que presenten caos determinista en la seva dinàmica no lineal. Per altra banda, hi ha línies de treball en Física Teòrica que postulen un espai-temps fractal, mitjançant el qual - potser - es podria fer realitat el somni dels físics: explicar la Gravitació a partir de la Mecànica Quàntica.