El teorema de Pitágoras en notación tensorial

A modo de sencillo ejercicio, podemos expresar el teorema de Pitágoras en notación tensorial. La expresión que escribiremos describe de manera natural la operación tensorial que denominamos contracción de índices, la cual incorpora un sumatorio sobreentendido (convenio de Einstein) sin que figure explícitamente en la escritura que vamos a ver.

Consideremos un triángulo rectángulo en el plano, de catetos $x$ e $y$; y de hipotenusa, $z$. Es de sobra conocido lo que expresa el teorema de Pitágoras, que en notación convencional se escribe de la forma: $$z^2=x^2+y^2 \quad (1)$$

Convengamos ahora en denominar a las variables $x$ e $y$ mediante la notación con superíndice -al superíndice le denominamos índice contravariante, que no debemos confundir con el exponente de la expresión de potencia- $\alpha^{\mu}$, donde los valores del índice $\mu$ hagan referencia a $\alpha^1\equiv x$ y $\alpha^2\equiv y$

Por otra parte, la potencia al cuadrado -atención a esta idea, que es clave- podemos expresarla como $x^2\equiv (\alpha^1)^2 := \alpha_{1}\,\alpha^{1}$ y $y^2\equiv (\alpha^2)^2 := \alpha_{2}\,\alpha^{2}$, donde los primeros factores de estos productos se escriben con subíndice -lo denominamos índice covariante-, y los segundos factores, están escritos con índice contravariante.

Así, (1) puede expresarse de la forma $$\alpha_{1}\,\alpha^{1}+\alpha_{2}\,\alpha^{2} \quad (1')$$ y ya puestos a resumir y simplificar la notación (Einstein) basta con sobre entender ahorrarnos la referencia explícita de la suma, que queda implícita en la siguiente expresión final: $$z^2 = \alpha_{\mu}\,\alpha^{\mu} \quad (1'')$$ $\diamond$

Notación tensorial de la derivación de una función de varias variables

En este artículo voy a expresar la derivación parcial de una función de varias variables empleando la notación tensorial -en particular, empleando el convenio de Einstein-, la cual simplifica notablemente la notación convencional.

Consideremos por ejemplo la función $z=f(x(u,v),y(u,v))$. Entonces, como es bien conocido, las derivadas parciales con respecto de $u$ y $v$, escritas de la manera convencional, son:
$$\dfrac{\partial\,z}{\partial\,u}=\dfrac{\partial\,z}{\partial\,x}\dfrac{\partial\,x}{\partial\,u}+\dfrac{\partial\,z}{\partial\,y}\dfrac{\partial\,y}{\partial\,u} \quad (1)$$ $$\dfrac{\partial\,z}{\partial\,v}=\dfrac{\partial\,z}{\partial\,x}\dfrac{\partial\,x}{\partial\,v}+\dfrac{\partial\,z}{\partial\,y}\dfrac{\partial\,y}{\partial\,v} \quad (2)$$

Ahora bien, si convenimos en denominar a las variables $x$ e $y$ mediante una notación con superíndice (al superíndice le denominamos índice contravariante) $\alpha^{\mu}$, donde los valores del índice $\mu$ hagan referencia a $\alpha^1\equiv x$ y $\alpha^2\equiv y$; y, por otra parte, convenimos en denominar a las variables $u$ e $v$ también mediante una notación con superíndice (índice contravariante) $\beta^{\nu}$, donde los valores del índice $\nu$ hagan referencia a $\beta^1\equiv u$ y $\beta^2\equiv v$, podemos expresar ahora (1) y (2) de una forma mucho más sencilla -obsérvese la presencia implícita de la suma-, en forma tensorial:
$$\dfrac{\partial\,z}{\partial\,\beta^\nu}=\dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^\mu}\dfrac{\partial\,\alpha^\mu}{\partial\,\beta^\nu} \quad (3)$$

Observemos que empleando la notación de los índices contravariantes para designar las variables, (3) involucra los siguientes cuatro términos: $$\begin{matrix} \dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^1}\dfrac{\partial\,\alpha^1}{\partial\,\beta^1} & \dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^2}\dfrac{\partial\,\alpha^2}{\partial\,\beta^1} \\ \dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^2}\dfrac{\partial\,\alpha^2}{\partial\,\beta^1} & \dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^2}\dfrac{\partial\,\alpha^2}{\partial\,\beta^2} \end{matrix}$$ Así pues aparece aquí un objeto matricial que, en este contexto representa un tensor de derivación: $$\begin{pmatrix} \dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^1}\dfrac{\partial\,\alpha^1}{\partial\,\beta^1} & \dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^2}\dfrac{\partial\,\alpha^2}{\partial\,\beta^1} \\ \dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^2}\dfrac{\partial\,\alpha^2}{\partial\,\beta^1} & \dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^2}\dfrac{\partial\,\alpha^2}{\partial\,\beta^2} \end{pmatrix}$$ que bien podemos expresar de la siguiente manera: $$\mathcal{D}:=\begin{pmatrix}D_{11}&D_{12} \\ D_{21}&D_{22}\end{pmatrix}$$ donde, obviamente, $D_{11}:=\dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^1}\dfrac{\partial\,\alpha^1}{\partial\,\beta^1}$, $D_{12}:=\dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^2}\dfrac{\partial\,\alpha^2}{\partial\,\beta^1}$, $D_{21}=\dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^2}\dfrac{\partial\,\alpha^2}{\partial\,\beta^1}$ y $D_{22}:=\dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^2}\dfrac{\partial\,\alpha^2}{\partial\,\beta^2}$, donde, ahora, los subíndices indican simplemente la ubicación de los elementos en la matriz (índices de fila y columna, respectivamente) $\diamond$

Álgebra tensorial básica

Aplicaciones multilineales

Consideremos los espacios vectoriales $E_1,E_2,\ldots,E_p$ y $F$ sobre un cuerpo conmutatiovo $\mathbb{K}$. Decimos que $f:E_1\times E_2\times\ldots\times E_p \rightarrow F$ es una aplicación multilineal, si es lineal en cada espacio $E_i$, $i=1,2,\ldots,p$. Dicho de otro modo, si:

1. $f(u_1,u_2,\ldots,u_i+u'_i,u_{i+1},u_{i+2},\ldots,u_p)=f(u_1,u_2,\ldots,u_{i-1},u_i,u_{i+1},u_{i+2},\ldots,u_p)+$ $+f(u_1,u_2,\ldots,u_{i-1},u'_i,u_{i+1},u_{i+2},\ldots,u_p)$ $\forall \,u_i \in E_i,\,1\le i \le p$, $\forall u'_{i}\in E_i$
2. $f(u_1,u_2,\ldots, u_{i-1}\,\lambda u_i,u_{i+1},u_{i+2},\ldots,u_p)=\lambda\,f(u_1,u_2,\ldots,u_{i-1}\,u_i,u_{i+1},u_{i+2},\ldots,u_p)$ $\forall \,u_i \in E_i,\,1\le i \le p$ y $\forall k\in \mathbb{K}$

Formas multilineales (tensores)

Tensores covariantes

Si los espacios vectoriales $E_1,E_2,\ldots,E_p$ se consideran el mismo e.v. $E$ sobre $\mathbb{K}$, y por el e.v. $F$ entendemos el propio $\mathbb{K}$ puesto que, con las operaciones de suma y producto, $\mathbb{K}$ tiene estructura de espacio vectorial . Decimos que el conjunto de las aplicaciones multilineales de $E^p:=E\times E \times \ldots \times E$ en $\mathbb{K}$ es el conjunto de las formas multilineales $T_{p}(E)$ o conjunto de tensores covarintes de orden $p$. En particular, el conjunto de formas lineales de $E$ en $\mathbb{K}$, esto es, $T_{1}(E)$, es el espacio dual de $E$, al que designamos habitualmente por $E^*$.

Tensores contravariantes

Si los espacios vectoriales $E_1,E_2,\ldots,E_q$ son ahora, todos ellos iguales al espacio dual de $E$, $E^*$ y $F=\mathbb{K}$, Decimos que el conjunto de las formas multilineales de $E^* \times E^* \times \ldots \times E^*=:E^{*^{q}}$ en $\mathbb{K}$ es el conjunto de tensores contravariantes de orden $q$, y se le designa por $T^q(E)$. Observemos por tanto que, en particular, $T^1(E)=E^{**}$ es el espacio bidual de $E$.

Tensores mixtos

Las formas multilineales de $E^p \times E^{*^{q}}$ en $\mathbb{K}$ constituyen el conjunto de los tensores llamados mixtos $p$ veces covariantes y $q$ veces contravariantes, y se denota por $T_{q}^{p}(E)$. En particular, y de manera convenida podemos denotar $\mathbb{K}$ como $T_{0}^{0}(E)$.

Estructura de los conjuntos de tensores $p$ covariantes, $q$ contravariantes, y mixtos ($p$ covariantes, $q$ contravariantes) con las operaciones de suma y producto por escalares:

Los conjuntos de tensores $(T_p(E),+,\cdot_{\mathbb{K}})$, $(T^q(E),+,\cdot_{\mathbb{K}})$ y $(T_{p}^{q}(E),+,\cdot_{\mathbb{K}})$ tienen estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$.

La operación producto tensorial

Conviene hablar también de otra operación, conocida como producto tensorial. Consideremos los tensores $f\in T_m(E)$ ($m$ veces covariante) y $g\in T_n(E)$ ($n$ veces covariante) cualesquiera. Entonces, se define el producto tensorial de $f$ por $g$ (y se denota por $T_{m+n}$) como $$(f \oplus g)(x_1,x_2,\ldots,x_m,x_{m+1},\ldots,x_{m+n}):=f(x_1,x_2,\ldots,x_m)\cdot g(x_1,\ldots,x_n)$$ donde $\cdot$ indica el producto en $\mathbb{K}$.

De manera análoga podemos definir el producto tensorial de tensores contravariantes y también el producto tensorial de tensores mixtos.

Propiedades del producto tensorial

Para tensores $f,g,h$ cualesquiera, se tiene que:
(1) En general, $f \oplus g \neq g \oplus f$ (el producto tensorial no es conmutativo)
(2) $(f \oplus g ) \oplus h = f \oplus (g \oplus h)$ (se cumple la propiedad asociativa)
(3) $(\lambda \,f) \oplus g ) = \lambda\,(f \oplus g) = f \oplus (\lambda\,g)$, $\forall \lambda\in \mathbb{K}$
(4) $\left\{ \begin{matrix}(f + g ) \oplus h = f \oplus h + (g \oplus h) \\ f \oplus (g + h) = f \oplus g + f \oplus h\end{matrix}\right.$ (propiedad doblemente distributiva de $+$ con respecto de $\oplus$, y de $\oplus$ con respecto a $+$)

Nota: Iré completando estos apuntes

Un ejercicio para determinar el origen de coordenadas del sistema de referencia centro de masas de un sistema de partículas aislado

Tres partículas en reposo, de masas $m$, $2m$ y $3m$ se ubican en los vértices de un triángulo equilátero de lado $\ell$ contenido en un plano -recordemos que, a efectos de los cálculos que vendrán, la amplitud angular de los tres ángulos de un triángulo equilátero es de $60^\circ$ y que los tres lados son de igual longitud-, que denotamos por $A$, $B$ y $C$, respectivamente. Se supone que el sistema está aislado (las fuerzas externas son nulas), por lo que nos interesa calcular la posición del centro de masas del sistema, ya que, eligiendo dicho punto como el centro, $O'$, de ese nuevo sistema de referencia (sistema centro de masas), $\sum'$, el movimiento del sistema será rectilíneo y a velocidad constante (con respecto a dicho sistema centro de masas), o, en particular, nulo (que es el caso que nos ocupa), manteniéndose rígidamente la configuración de las tres partículas, unas con respecto de las otras, en todo instante de tiempo.

Ya sabemos que podemo situar el centro de referencia del sistema laboratorio, $\sum$, en un punto arbitrario; en particular, por comodidad, es conveniente situarlo en la posición del punto $A$, es decir $O\equiv A$. Sabemos que la posición del centro del sistema centro de masas es, desde luego, la del punto centro de masas del sistema de tres partículas,$G$; esto es, $O'\equiv G$, luego $$\vec{r}_{\text{O'}}=\dfrac{m\,\vec{r}_{AA}+2m\,\vec{r}_{AB}+2m\,\vec{r}_{AC}}{m+2m+3m}$$ es decir, $$\displaystyle \vec{r}_{\text{O'}}=\dfrac{m\,\vec{0}+2m\,\left( \frac{\ell}{2}\,\hat{i}+\frac{\sqrt{3}}{2}\,\ell\,\hat{j}\right)+3m\,\ell\,\hat{j}}{m+2m+3m}=\dfrac{\vec{0}+4\,\ell\,\hat{i}+\sqrt{3}\,\ell\,\hat{j}}{6}=\dfrac{2}{3}\,\ell\,\hat{i}+\dfrac{\sqrt{3}}{6}\,\ell\,\hat{j}$$

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Un ejercicio sobre masas relativistas

Queremos calcular la velocidad que debería tener un electrón para que su masa relativista sea igual a la masa en reposo de un protón

Sabemos que la relación entre la masa relativista, $m$, de una partícula, con su masa en reposo, $m_0$, y su velocidad, $v$, viene dada por $$m=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}\quad (1)$$ donde $c$ es la velocidad de la luz en el vacío, $c\approx 2,998 \times 10^8\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

La masa en reposo de un electrón es $m_0=9,109 \times 10^{-31}\,\text{kg}$ y la masa en reposo de un protón es $m_0=1,672 \times 10^{-27}\,\text{kg}$

Entonces, según (1), deberá cumplirse que $$1,672 \times 10^{-27}=\dfrac{9,109 \times 10^{-31}}{\sqrt{1-(\frac{v}{2,998 \times 10^8})^2}}$$ por consiguiente, $$\sqrt{1-(\frac{v}{2,998 \times 10^8})^2}=\dfrac{9,109 \times 10^{-31}}{1,672 \times 10^{-27}}$$ luego $$1-\left(\frac{v}{2,998 \times 10^8}\right)^2=\left(\dfrac{9,109 \times 10^{-31}}{1,672 \times 10^{-27}}\right)^2$$ con lo cual, $$\left(\frac{v}{2,998 \times 10^8}\right)^2=1-\left(\dfrac{9,109 \times 10^{-31}}{1,672 \times 10^{-27}}\right)^2$$ y por tanto, $$\frac{v}{2,998 \times 10^8}=\sqrt{1-\left(\dfrac{9,109 \times 10^{-31}}{1,672 \times 10^{-27}}\right)^2}$$ llegando a, $$v=2,998 \times 10^8 \cdot \sqrt{1-\left(\dfrac{9,109 \times 10^{-31}}{1,672 \times 10^{-27}}\right)^2}$$ Teniendo en cuenta que $\left(\dfrac{9,109 \times 10^{-31}}{1,672 \times 10^{-27}}\right)^2 \sim 10^{-7}$ se tiene que $1\gt 1-\left(\dfrac{9,109 \times 10^{-31}}{1,672 \times 10^{-27}}\right)^2$, aunque es prácticamente igual a $1$, y por consiguiente $c\gt v\approx 2,998 \times 10^8 \,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

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Ecuaciones de movimiento de un sistema de partículas puntuales

Consideremos un sistema de partículas $\{P_i\}$ ($i=1,\ldots,n$) y $P_2$, de masas respectivas $\{m_i\}$ ($i=1,\ldots,n$). Escribiremos las ecuaciones del movimiento del sistema, conforme a la dinámica newtoniana.

Sobre la partícula genérica $i$-ésima, actúa una fuerza externa $\vec{F}_i$ y una fuerza interna (debida a la acción de las otras partículas) que podemos escribir de la forma $\displaystyle \sum_{\underset{j=1}{j\neq i}}^{n}\,\vec{f}_{ij}$. Entonces, aplicando la segunda ley de Newton sobre cada partícula se tiene que $$\displaystyle \vec{F}_i+\sum_{\underset{j=1}{j\neq i}}^{n}\,\vec{f}_{ij}=m_i\,\ddot{\vec{r}_i}\quad \forall i=1,\ldots,n$$ Y, sumando las $n$ ecuaciones vectoriales, miembro a miembro: $$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,\vec{F}_i+\sum_{i=1}^{n}(\sum_{\underset{j=1}{j\neq i}}^{n}\,\vec{f}_{ij})=\sum_{i=1}^{n}\,m_i\,\ddot{\vec{r}_i}$$ El primer sumatorio del primer miembro es igual a la fuerza externa resultante, $\vec{F}$, sobre el sistema (principio de superposición); y, en cuanto al sumatorio del segundo miembro referido a las fuerzas internas, teniendo en cuenta la tercera ley de Newton, ha de ser cero, pues éstas se anulan por pares, pues $\vec{f}_{ij}=-\vec{f}_{ji}$, para cada par $(i,j)$; así por ejemplo, par $n=3$,
$\displaystyle \sum_{i=1}^{3}(\sum_{\underset{j=1}{j\neq i}}^{3}\,\vec{f}_{ij})=\vec{f}_{12}+\vec{f}_{13}+\vec{f}_{21}+\vec{f}_{23}+\vec{f}_{31}+\vec{f}_{32}=(\vec{f}_{12}+\vec{f}_{21})+(\vec{f}_{23}+\vec{f}_{32})+(\vec{f}_{13}+\vec{f}_{31})=$   $=\left(\vec{f}_{12}+(-\vec{f}_{12})\right)+\left(\vec{f}_{23}+(-\vec{f}_{23})\right)+\left(\vec{f}_{13}+(-\vec{f}_{13})\right)$
    $=\left(\vec{f}_{12}-\vec{f}_{12}\right)+\left(\vec{f}_{23}-\vec{f}_{23}\right)+\left(\vec{f}_{13}-\vec{f}_{13}\right)$
      $=\vec{0}+\vec{0}+\vec{0}$
        $=\vec{0}$
luego concluimos que $$\displaystyle \vec{F}+\vec{0}=\sum_{i=1}^{n}\,m_i\,\ddot{\vec{r}_i}$$ esto es $$\displaystyle \vec{F}=\sum_{i=1}^{n}\,m_i\,\ddot{\vec{r}_i}$$ Evidentemente, a partir de esta ecuación, conociendo las fuerzas, y las condiciones iniciales, al integrarlas llegaríamos también a conocer las velocidades y las posiciones de cada una de las $n$ partículas del sistema.

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Estudio del movimiento de un sistema de dos partículas con respecto al sistema de referencia centro de masas

Consideremos de nuevo un sistema aislado -la resultante de las fuerzas externas es nula- formado por dos partículas, $P_1$ y $P_2$, de masas respectivas $m_1$ y $m_2$ que interaccionan mútuamente. Vamos a ver que el problema del movimiento de este sistema de dos partículas es interesante también estudiarlo con respecto al sistema de referencia centro de masas, $\sum'$. Veremos qué conclusiones podemos extraer de ello.

Ya sabemos que, con respecto a un sistema de referencia inercial $\sum$, al que llamaremos sistema laboratorio, la posición de las dos partículas en todo instante $t$ viene dada por los vectores $\vec{r}_1$ y $\vec{r}_2$. El vector que desde $P_2$ apunta a $P_1$ viene dado por tanto por la relación $\vec{r}=\vec{r}_1 - \vec{r}_2 \quad (1)$ y, en consecuencia, la velocidad y la aceleración de $P_1$ con respecto de $P_2$ son $\vec{v}:=\dot{\vec{r}}=\dot{\vec{r}_1} - \dot{\vec{r}_2} \quad (2)$ y $\vec{a}:=\ddot{\vec{r}}=\ddot{\vec{r}_1} - \ddot{\vec{r}_2} \quad (3)$, respectivamente.

Situemos ahora el origen del sistema de referencia $\sum'$ en el centro de masas del sistema, cuya posición con respecto de $\sum$ viene dada por $$\vec{r}_G=\dfrac{m_1\,\vec{r}_1+m_2\,\vec{r}_2}{m_1+m_2}$$

Así pues, con respecto del sistema centro de masas, $\sum'$, la posición de las partículas (en todo instante de tiempo $t$) viene dada por:

• $\vec{r'_1}=\vec{r}_1-\vec{r}_G=\vec{r}_1-\dfrac{m_1\,\vec{r}_1+m_2\,\vec{r}_2}{m_1+m_2}=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,(\vec{r}_1-\vec{r}_2)=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,\vec{r}$
• $\vec{r'_2}=\vec{r}_2-\vec{r}_G=\vec{r}_2-\dfrac{m_1\,\vec{r}_1+m_2\,\vec{r}_2}{m_1+m_2}=\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,(\vec{r}_2-\vec{r}_1)=-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,(\vec{r}_1-\vec{r}_1)=-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,\vec{r}$

En consecuencia, al derivar una vez con respecto de $t$:

• $\vec{v_1'}:=\dot{\vec{r_1'}}=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,\dot{\vec{r}}=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,\vec{v}$
• $\vec{v_2'}:=\dot{\vec{r_2'}}=-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,\dot{\vec{r}}=-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,\vec{v}$

El momento lineal de cada una de las dos partículas con respecto a $\sum'$ es pues:

• $\vec{p_1'}:=m_1\,\dot{\vec{v_1'}}=\dfrac{m_1\,m_2}{m_1+m_2}\,\vec{v}=\mu\,\,\vec{v}$   (recordemos que $\mu=\dfrac{m_1\,m_2}{m_1+m_2}$ es la masa reducida del sistema de partículas)
• $\vec{p_2'}:=m_2,\dot{\vec{v_2'}}=-\dfrac{m_1\,m_2}{m_1+m_2}\,\vec{v}=-\mu\,\vec{v}$

Llegamos aquí a una conclusión importante: la suma de los momentos lineales de las dos partículas es nula, esto es, el momento lineal total del sistema de dos partículas con respecto del sistema centro de masas es nulo $$\vec{p'}_{\text{total}}:=\vec{p_1'}+\vec{p_2'}=\mu\,\,\vec{v}+(-\mu\,\,\vec{v})=(\mu-\mu)\,\vec{v}=\vec{0}$$ Los momentos lineales de las dos partículas, con respecto al sistema de referencia centro de masas $\sum'$, son iguales y de sentido opuesto.

Por otra parte, derivando las velocidades:

• $\vec{a_1'}:=\dot{\vec{v_1'}}=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,\ddot{\vec{r}}$
• $\vec{a_2'}:=\dot{\vec{v_2'}}=-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,\ddot{\vec{r}}$

Y, por la segunda ley de Newton, teniendo en cuenta que el sistema es aislado (las fuerzas externas son nulas):

• $\vec{f}_{12}=m_1\,\vec{a_1'}=m_1\cdot \dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,\ddot{\vec{r}}=\dfrac{m_1\,m_2}{m_1+m_2}\,\ddot{\vec{r}}=\mu\,\ddot{\vec{r}}$
• $\vec{f}_{21}=m_2\,\vec{a_2'}=m_2\cdot \left(-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,\ddot{\vec{r}}\right)=-\dfrac{m_1\,m_2}{m_1+m_2}\,\ddot{\vec{r}}=-\mu\,\ddot{\vec{r}}$

con lo cual, la suma de las fuerzas internas es nula: $\vec{f}_{12}+\vec{f}_{21}=\mu\,\ddot{\vec{r}}+(-\mu\,\ddot{\vec{r}})=\vec{0}$, de donde recuperamos la tercera ley de Newton: $\vec{f}_{12}=-\vec{f}_{21}$

Es importante también decir que, al no actuar fuerzas externas sobre el sistema de partículas, la aceleración del centro de masas es nula, luego el movimiento de dicho centro de masas es rectilíneo y su velocidad es constante; lo cual no está en contradicción con lo deducido arriba de que el momento lineal total del sistema (la suma de los momentos lineales de las dos partículas) sea nulo. Podemos decir por tanto que el sistema de referencia centro de masas $\sum'$ es un sistema inercial. $\diamond$