Álgebra tensorial básica

Aplicaciones multilineales

Consideremos los espacios vectoriales $E_1,E_2,\ldots,E_p$ y $F$ sobre un cuerpo conmutatiovo $\mathbb{K}$. Decimos que $f:E_1\times E_2\times\ldots\times E_p \rightarrow F$ es una aplicación multilineal, si es lineal en cada espacio $E_i$, $i=1,2,\ldots,p$. Dicho de otro modo, si:

1. $f(u_1,u_2,\ldots,u_i+u'_i,u_{i+1},u_{i+2},\ldots,u_p)=f(u_1,u_2,\ldots,u_{i-1},u_i,u_{i+1},u_{i+2},\ldots,u_p)+$ $+f(u_1,u_2,\ldots,u_{i-1},u'_i,u_{i+1},u_{i+2},\ldots,u_p)$ $\forall \,u_i \in E_i,\,1\le i \le p$, $\forall u'_{i}\in E_i$
2. $f(u_1,u_2,\ldots, u_{i-1}\,\lambda u_i,u_{i+1},u_{i+2},\ldots,u_p)=\lambda\,f(u_1,u_2,\ldots,u_{i-1}\,u_i,u_{i+1},u_{i+2},\ldots,u_p)$ $\forall \,u_i \in E_i,\,1\le i \le p$ y $\forall k\in \mathbb{K}$

Formas multilineales (tensores)

Tensores covariantes

Si los espacios vectoriales $E_1,E_2,\ldots,E_p$ se consideran el mismo e.v. $E$ sobre $\mathbb{K}$, y por el e.v. $F$ entendemos el propio $\mathbb{K}$ puesto que, con las operaciones de suma y producto, $\mathbb{K}$ tiene estructura de espacio vectorial . Decimos que el conjunto de las aplicaciones multilineales de $E^p:=E\times E \times \ldots \times E$ en $\mathbb{K}$ es el conjunto de las formas multilineales $T_{p}(E)$ o conjunto de tensores covarintes de orden $p$. En particular, el conjunto de formas lineales de $E$ en $\mathbb{K}$, esto es, $T_{1}(E)$, es el espacio dual de $E$, al que designamos habitualmente por $E^*$.

Tensores contravariantes

Si los espacios vectoriales $E_1,E_2,\ldots,E_q$ son ahora, todos ellos iguales al espacio dual de $E$, $E^*$ y $F=\mathbb{K}$, Decimos que el conjunto de las formas multilineales de $E^* \times E^* \times \ldots \times E^*=:E^{*^{q}}$ en $\mathbb{K}$ es el conjunto de tensores contravariantes de orden $q$, y se le designa por $T^q(E)$. Observemos por tanto que, en particular, $T^1(E)=E^{**}$ es el espacio bidual de $E$.

Tensores mixtos

Las formas multilineales de $E^p \times E^{*^{q}}$ en $\mathbb{K}$ constituyen el conjunto de los tensores llamados mixtos $p$ veces covariantes y $q$ veces contravariantes, y se denota por $T_{q}^{p}(E)$. En particular, y de manera convenida podemos denotar $\mathbb{K}$ como $T_{0}^{0}(E)$.

Estructura de los conjuntos de tensores $p$ covariantes, $q$ contravariantes, y mixtos ($p$ covariantes, $q$ contravariantes) con las operaciones de suma y producto por escalares:

Los conjuntos de tensores $(T_p(E),+,\cdot_{\mathbb{K}})$, $(T^q(E),+,\cdot_{\mathbb{K}})$ y $(T_{p}^{q}(E),+,\cdot_{\mathbb{K}})$ tienen estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$.

La operación producto tensorial

Conviene hablar también de otra operación, conocida como producto tensorial. Consideremos los tensores $f\in T_m(E)$ ($m$ veces covariante) y $g\in T_n(E)$ ($n$ veces covariante) cualesquiera. Entonces, se define el producto tensorial de $f$ por $g$ (y se denota por $T_{m+n}$) como $$(f \oplus g)(x_1,x_2,\ldots,x_m,x_{m+1},\ldots,x_{m+n}):=f(x_1,x_2,\ldots,x_m)\cdot g(x_1,\ldots,x_n)$$ donde $\cdot$ indica el producto en $\mathbb{K}$.

De manera análoga podemos definir el producto tensorial de tensores contravariantes y también el producto tensorial de tensores mixtos.

Propiedades del producto tensorial

Para tensores $f,g,h$ cualesquiera, se tiene que:
(1) En general, $f \oplus g \neq g \oplus f$ (el producto tensorial no es conmutativo)
(2) $(f \oplus g ) \oplus h = f \oplus (g \oplus h)$ (se cumple la propiedad asociativa)
(3) $(\lambda \,f) \oplus g ) = \lambda\,(f \oplus g) = f \oplus (\lambda\,g)$, $\forall \lambda\in \mathbb{K}$
(4) $\left\{ \begin{matrix}(f + g ) \oplus h = f \oplus h + (g \oplus h) \\ f \oplus (g + h) = f \oplus g + f \oplus h\end{matrix}\right.$ (propiedad doblemente distributiva de $+$ con respecto de $\oplus$, y de $\oplus$ con respecto a $+$)

Nota: Iré completando estos apuntes

Un ejercicio para determinar el origen de coordenadas del sistema de referencia centro de masas de un sistema de partículas aislado

Tres partículas en reposo, de masas $m$, $2m$ y $3m$ se ubican en los vértices de un triángulo equilátero de lado $\ell$ contenido en un plano -recordemos que, a efectos de los cálculos que vendrán, la amplitud angular de los tres ángulos de un triángulo equilátero es de $60^\circ$ y que los tres lados son de igual longitud-, que denotamos por $A$, $B$ y $C$, respectivamente. Se supone que el sistema está aislado (las fuerzas externas son nulas), por lo que nos interesa calcular la posición del centro de masas del sistema, ya que, eligiendo dicho punto como el centro, $O'$, de ese nuevo sistema de referencia (sistema centro de masas), $\sum'$, el movimiento del sistema será rectilíneo y a velocidad constante (con respecto a dicho sistema centro de masas), o, en particular, nulo (que es el caso que nos ocupa), manteniéndose rígidamente la configuración de las tres partículas, unas con respecto de las otras, en todo instante de tiempo.

Ya sabemos que podemo situar el centro de referencia del sistema laboratorio, $\sum$, en un punto arbitrario; en particular, por comodidad, es conveniente situarlo en la posición del punto $A$, es decir $O\equiv A$. Sabemos que la posición del centro del sistema centro de masas es, desde luego, la del punto centro de masas del sistema de tres partículas,$G$; esto es, $O'\equiv G$, luego $$\vec{r}_{\text{O'}}=\dfrac{m\,\vec{r}_{AA}+2m\,\vec{r}_{AB}+2m\,\vec{r}_{AC}}{m+2m+3m}$$ es decir, $$\displaystyle \vec{r}_{\text{O'}}=\dfrac{m\,\vec{0}+2m\,\left( \frac{\ell}{2}\,\hat{i}+\frac{\sqrt{3}}{2}\,\ell\,\hat{j}\right)+3m\,\ell\,\hat{j}}{m+2m+3m}=\dfrac{\vec{0}+4\,\ell\,\hat{i}+\sqrt{3}\,\ell\,\hat{j}}{6}=\dfrac{2}{3}\,\ell\,\hat{i}+\dfrac{\sqrt{3}}{6}\,\ell\,\hat{j}$$

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Un ejercicio sobre masas relativistas

Queremos calcular la velocidad que debería tener un electrón para que su masa relativista sea igual a la masa en reposo de un protón

Sabemos que la relación entre la masa relativista, $m$, de una partícula, con su masa en reposo, $m_0$, y su velocidad, $v$, viene dada por $$m=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}\quad (1)$$ donde $c$ es la velocidad de la luz en el vacío, $c\approx 2,998 \times 10^8\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

La masa en reposo de un electrón es $m_0=9,109 \times 10^{-31}\,\text{kg}$ y la masa en reposo de un protón es $m_0=1,672 \times 10^{-27}\,\text{kg}$

Entonces, según (1), deberá cumplirse que $$1,672 \times 10^{-27}=\dfrac{9,109 \times 10^{-31}}{\sqrt{1-(\frac{v}{2,998 \times 10^8})^2}}$$ por consiguiente, $$\sqrt{1-(\frac{v}{2,998 \times 10^8})^2}=\dfrac{9,109 \times 10^{-31}}{1,672 \times 10^{-27}}$$ luego $$1-\left(\frac{v}{2,998 \times 10^8}\right)^2=\left(\dfrac{9,109 \times 10^{-31}}{1,672 \times 10^{-27}}\right)^2$$ con lo cual, $$\left(\frac{v}{2,998 \times 10^8}\right)^2=1-\left(\dfrac{9,109 \times 10^{-31}}{1,672 \times 10^{-27}}\right)^2$$ y por tanto, $$\frac{v}{2,998 \times 10^8}=\sqrt{1-\left(\dfrac{9,109 \times 10^{-31}}{1,672 \times 10^{-27}}\right)^2}$$ llegando a, $$v=2,998 \times 10^8 \cdot \sqrt{1-\left(\dfrac{9,109 \times 10^{-31}}{1,672 \times 10^{-27}}\right)^2}$$ Teniendo en cuenta que $\left(\dfrac{9,109 \times 10^{-31}}{1,672 \times 10^{-27}}\right)^2 \sim 10^{-7}$ se tiene que $1\gt 1-\left(\dfrac{9,109 \times 10^{-31}}{1,672 \times 10^{-27}}\right)^2$, aunque es prácticamente igual a $1$, y por consiguiente $c\gt v\approx 2,998 \times 10^8 \,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

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Ecuaciones de movimiento de un sistema de partículas puntuales

Consideremos un sistema de partículas $\{P_i\}$ ($i=1,\ldots,n$) y $P_2$, de masas respectivas $\{m_i\}$ ($i=1,\ldots,n$). Escribiremos las ecuaciones del movimiento del sistema, conforme a la dinámica newtoniana.

Sobre la partícula genérica $i$-ésima, actúa una fuerza externa $\vec{F}_i$ y una fuerza interna (debida a la acción de las otras partículas) que podemos escribir de la forma $\displaystyle \sum_{\underset{j=1}{j\neq i}}^{n}\,\vec{f}_{ij}$. Entonces, aplicando la segunda ley de Newton sobre cada partícula se tiene que $$\displaystyle \vec{F}_i+\sum_{\underset{j=1}{j\neq i}}^{n}\,\vec{f}_{ij}=m_i\,\ddot{\vec{r}_i}\quad \forall i=1,\ldots,n$$ Y, sumando las $n$ ecuaciones vectoriales, miembro a miembro: $$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,\vec{F}_i+\sum_{i=1}^{n}(\sum_{\underset{j=1}{j\neq i}}^{n}\,\vec{f}_{ij})=\sum_{i=1}^{n}\,m_i\,\ddot{\vec{r}_i}$$ El primer sumatorio del primer miembro es igual a la fuerza externa resultante, $\vec{F}$, sobre el sistema (principio de superposición); y, en cuanto al sumatorio del segundo miembro referido a las fuerzas internas, teniendo en cuenta la tercera ley de Newton, ha de ser cero, pues éstas se anulan por pares, pues $\vec{f}_{ij}=-\vec{f}_{ji}$, para cada par $(i,j)$; así por ejemplo, par $n=3$,
$\displaystyle \sum_{i=1}^{3}(\sum_{\underset{j=1}{j\neq i}}^{3}\,\vec{f}_{ij})=\vec{f}_{12}+\vec{f}_{13}+\vec{f}_{21}+\vec{f}_{23}+\vec{f}_{31}+\vec{f}_{32}=(\vec{f}_{12}+\vec{f}_{21})+(\vec{f}_{23}+\vec{f}_{32})+(\vec{f}_{13}+\vec{f}_{31})=$   $=\left(\vec{f}_{12}+(-\vec{f}_{12})\right)+\left(\vec{f}_{23}+(-\vec{f}_{23})\right)+\left(\vec{f}_{13}+(-\vec{f}_{13})\right)$
    $=\left(\vec{f}_{12}-\vec{f}_{12}\right)+\left(\vec{f}_{23}-\vec{f}_{23}\right)+\left(\vec{f}_{13}-\vec{f}_{13}\right)$
      $=\vec{0}+\vec{0}+\vec{0}$
        $=\vec{0}$
luego concluimos que $$\displaystyle \vec{F}+\vec{0}=\sum_{i=1}^{n}\,m_i\,\ddot{\vec{r}_i}$$ esto es $$\displaystyle \vec{F}=\sum_{i=1}^{n}\,m_i\,\ddot{\vec{r}_i}$$ Evidentemente, a partir de esta ecuación, conociendo las fuerzas, y las condiciones iniciales, al integrarlas llegaríamos también a conocer las velocidades y las posiciones de cada una de las $n$ partículas del sistema.

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Estudio del movimiento de un sistema de dos partículas con respecto al sistema de referencia centro de masas

Consideremos de nuevo un sistema aislado -la resultante de las fuerzas externas es nula- formado por dos partículas, $P_1$ y $P_2$, de masas respectivas $m_1$ y $m_2$ que interaccionan mútuamente. Vamos a ver que el problema del movimiento de este sistema de dos partículas es interesante también estudiarlo con respecto al sistema de referencia centro de masas, $\sum'$. Veremos qué conclusiones podemos extraer de ello.

Ya sabemos que, con respecto a un sistema de referencia inercial $\sum$, al que llamaremos sistema laboratorio, la posición de las dos partículas en todo instante $t$ viene dada por los vectores $\vec{r}_1$ y $\vec{r}_2$. El vector que desde $P_2$ apunta a $P_1$ viene dado por tanto por la relación $\vec{r}=\vec{r}_1 - \vec{r}_2 \quad (1)$ y, en consecuencia, la velocidad y la aceleración de $P_1$ con respecto de $P_2$ son $\vec{v}:=\dot{\vec{r}}=\dot{\vec{r}_1} - \dot{\vec{r}_2} \quad (2)$ y $\vec{a}:=\ddot{\vec{r}}=\ddot{\vec{r}_1} - \ddot{\vec{r}_2} \quad (3)$, respectivamente.

Situemos ahora el origen del sistema de referencia $\sum'$ en el centro de masas del sistema, cuya posición con respecto de $\sum$ viene dada por $$\vec{r}_G=\dfrac{m_1\,\vec{r}_1+m_2\,\vec{r}_2}{m_1+m_2}$$

Así pues, con respecto del sistema centro de masas, $\sum'$, la posición de las partículas (en todo instante de tiempo $t$) viene dada por:

• $\vec{r'_1}=\vec{r}_1-\vec{r}_G=\vec{r}_1-\dfrac{m_1\,\vec{r}_1+m_2\,\vec{r}_2}{m_1+m_2}=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,(\vec{r}_1-\vec{r}_2)=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,\vec{r}$
• $\vec{r'_2}=\vec{r}_2-\vec{r}_G=\vec{r}_2-\dfrac{m_1\,\vec{r}_1+m_2\,\vec{r}_2}{m_1+m_2}=\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,(\vec{r}_2-\vec{r}_1)=-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,(\vec{r}_1-\vec{r}_1)=-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,\vec{r}$

En consecuencia, al derivar una vez con respecto de $t$:

• $\vec{v_1'}:=\dot{\vec{r_1'}}=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,\dot{\vec{r}}=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,\vec{v}$
• $\vec{v_2'}:=\dot{\vec{r_2'}}=-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,\dot{\vec{r}}=-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,\vec{v}$

El momento lineal de cada una de las dos partículas con respecto a $\sum'$ es pues:

• $\vec{p_1'}:=m_1\,\dot{\vec{v_1'}}=\dfrac{m_1\,m_2}{m_1+m_2}\,\vec{v}=\mu\,\,\vec{v}$   (recordemos que $\mu=\dfrac{m_1\,m_2}{m_1+m_2}$ es la masa reducida del sistema de partículas)
• $\vec{p_2'}:=m_2,\dot{\vec{v_2'}}=-\dfrac{m_1\,m_2}{m_1+m_2}\,\vec{v}=-\mu\,\vec{v}$

Llegamos aquí a una conclusión importante: la suma de los momentos lineales de las dos partículas es nula, esto es, el momento lineal total del sistema de dos partículas con respecto del sistema centro de masas es nulo $$\vec{p'}_{\text{total}}:=\vec{p_1'}+\vec{p_2'}=\mu\,\,\vec{v}+(-\mu\,\,\vec{v})=(\mu-\mu)\,\vec{v}=\vec{0}$$ Los momentos lineales de las dos partículas, con respecto al sistema de referencia centro de masas $\sum'$, son iguales y de sentido opuesto.

Por otra parte, derivando las velocidades:

• $\vec{a_1'}:=\dot{\vec{v_1'}}=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,\ddot{\vec{r}}$
• $\vec{a_2'}:=\dot{\vec{v_2'}}=-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,\ddot{\vec{r}}$

Y, por la segunda ley de Newton, teniendo en cuenta que el sistema es aislado (las fuerzas externas son nulas):

• $\vec{f}_{12}=m_1\,\vec{a_1'}=m_1\cdot \dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,\ddot{\vec{r}}=\dfrac{m_1\,m_2}{m_1+m_2}\,\ddot{\vec{r}}=\mu\,\ddot{\vec{r}}$
• $\vec{f}_{21}=m_2\,\vec{a_2'}=m_2\cdot \left(-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,\ddot{\vec{r}}\right)=-\dfrac{m_1\,m_2}{m_1+m_2}\,\ddot{\vec{r}}=-\mu\,\ddot{\vec{r}}$

con lo cual, la suma de las fuerzas internas es nula: $\vec{f}_{12}+\vec{f}_{21}=\mu\,\ddot{\vec{r}}+(-\mu\,\ddot{\vec{r}})=\vec{0}$, de donde recuperamos la tercera ley de Newton: $\vec{f}_{12}=-\vec{f}_{21}$

Es importante también decir que, al no actuar fuerzas externas sobre el sistema de partículas, la aceleración del centro de masas es nula, luego el movimiento de dicho centro de masas es rectilíneo y su velocidad es constante; lo cual no está en contradicción con lo deducido arriba de que el momento lineal total del sistema (la suma de los momentos lineales de las dos partículas) sea nulo. Podemos decir por tanto que el sistema de referencia centro de masas $\sum'$ es un sistema inercial. $\diamond$

Estudio del movimiento de un sistema de dos partículas. Masa reducida

Consideremos un sistema aislado -la resultante de las fuerzas externas es nula- formado por dos partículas, $P_1$ y $P_2$, de masas respectivas $m_1$ y $m_2$ que interaccionan mútuamente. Vamos a ver que el problema del movimiento de este sistema de dos partículas puede reducirse al problema del movimiento de una sóla partícula de masa reducidad $\mu$ que está sometida a una fuerza central.

Con respecto a un sistema de referencia inercial $\sum$, al que llamaremos sistema laboratorio, la posición de las dos partículas en todo instante $t$ viene dada por los vectores $\vec{r}_1$ y $\vec{r}_2$. El vector que desde $P_2$ apunta a $P_1$ viene dado por tanto por la relación $\vec{r}=\vec{r}_1 - \vec{r}_2 \quad (1)$

Entonces, las ecuaciones del movimiento del sistema de partículas vienen dadas (segunda ley de Newton) por $m_1\,\ddot{\vec{r}}_1=\vec{f}_{12} \quad (2)$ y $m_2\,\ddot{\vec{r}}_2=\vec{f}_{21}\quad (3)$, siendo $\vec{f}_{12}$ la fuerza que la partícula $P_2$ ejerce sobre $P_1$; y, $\vec{f}_{21}$ la fuerza que la partícula $P_1$ ejerce sobre $P_2$

Derivando (1) dos veces con respecto de $t$, se tiene que $\ddot{\vec{r}}=\ddot{\vec{r}_1} - \ddot{\vec{r}_2}$, y teniendo en cuenta (2) y (3), $\ddot{\vec{r}}_1=\dfrac{1}{m_1}\,\vec{f}_{12}$ y $\ddot{\vec{r}}_2=\dfrac{1}{m_2}\,\vec{f}_{12}$, y por tanto, $\ddot{\vec{r}}=\dfrac{1}{m_1}\,\vec{f}_{12}-\dfrac{1}{m_2}\,\vec{f}_{12} \quad (4)$; ahora bien, por la tercera ley de Newton, $\vec{f}_{12}=-\vec{f}_{21}$, con lo cual puede escribirse (4) de la forma, $$\ddot{\vec{r}}=\left(\dfrac{1}{m_1}-\dfrac{1}{m_2}\right)\,\vec{f}_{12}$$ es decir, $$\vec{f}_{12}=\left(\dfrac{1}{m_1}-\dfrac{1}{m_2}\right)^{-1}\,\ddot{\vec{r}}$$ esto es, $$\vec{f}_{12}=\left(\dfrac{m_1\,m_2}{m_1+m_2}\right)\,\ddot{\vec{r}}$$ Y entendiendo $\mu:=\left(\dfrac{m_1\,m_2}{m_1+m_2}\right) \quad (5)$ como la masa reducida del sistema, ésto suele escribirse de la forma $$\vec{f}_{12}=\mu\,\ddot{\vec{r}} \quad (6)$$

Observaciones:

1. En el caso de que $m_2 \gg m_1$, entonces de (5) se tiene que $\mu \approx m_1$ (la masa reducida es igual a la masa de la partícula más ligera), y por tanto (6) puede aproximarse como $$\vec{f}_{12}\approx \,m_1\,\ddot{\vec{r}}$$
2. En el caso de que $m_2 \sim m_1$, entonces de (5) se tiene que $\mu \approx \dfrac{1}{2}\,m_1$ (la masa reducida es igual a la masa de la partícula más ligera), y por tanto (6) puede aproximarse como $$\vec{f}_{12}\approx \,\dfrac{1}{2}\,m_1\,\ddot{\vec{r}}$$

Ejemplo:
El estudio del movimiento del sistema Tierra-Luna, entendiéndolo como un sistema aislado, puede reducirse al estudio del problema de una sóla partícula $P$, de masa reducida $\mu=\dfrac{m_T\,m_L}{m_T+m_L}$, sobre la que actúa una fuerza que representa la atracción de La Tierra sobre la Luna, $\vec{f}_{LT}$: $$\vec{f}_{LT}=\left(\dfrac{m_T\,m_L}{m_T+m_L}\right)\,(\ddot{\vec{r}_T}-\ddot{\vec{r}_L})$$ Siendo $m_T \approx 6\times 10^{24}\,\text{kg}$ y $m_L \approx 7\times 10^{22}\,\text{kg}$, se tiene que $\mu \sim 10^{22}\,\text{kg}$, esto es $\mu \approx m_L$, y por tanto, $$\vec{f}_{LT}\approx m_L\,(\ddot{\vec{r}_T}-\ddot{\vec{r}_L})$$ $\diamond$

El péndulo balístico: ¿Cómo medir la velocidad de un proyectil?

Un bloque de madera blanda está colgado del techo mediante un hilo inextensible. Se dispara un proyectil de masa $m$ a una cierta velocidad (a determinar) el cual al impactar contra el bloque (choque totalmente inelástico) se queda incrustado en él, despreciando la energía necesaria para producir la deformación en el bloque así como el calor disipado. A partir de ese instante, el conjunto proyectil+bloque se eleva según una trayectoria pendular (péndulo simple) hasta alcanzar una altura $h$ con respecto al punto más bajo de la misma. Nos proponemos calcular la velocidad con la que fue disparado el proyectil.

Por una parte, al no actuar fuerzas externas, el momento lineal, antes y después del impacto, permanece constante, en consecuencia, $m\,v=(m+M)\,V \quad (1)$, donde $V$ es la velocidad del conjunto bloque-proyectil en cuánto éste empieza a elevarse según la trayectoria pendular.

Inmediatamente después de que el proyectil se haya incrustado en el bloque -el conjunto empieza a moverse a una velocidad $V$- la energía mecánica total es igual a la suma de la energía cinética más la energía potencial del conjunto proyectil-bloque, y estableciendo el origen de potencial (cero de pontencial gravitatorio) en el punto más bajo de la trayectoria pendular, la energía mecánica total en ese instante es igual a $\dfrac{1}{2}\,(m+M)\,V^2$

Cuando el conjunto bloque-proyectil alcance el punto más elevado de la trayectoria pendular, la energía mecánica total en dicho instante en el que la velocidad es nula, es íntegramente energía potencial gravitatoria, $(m+m)\,g\,h$

En consecuencia, por el principio de conservación de la energía mecánica total, se tiene que $$\dfrac{1}{2}\,(m+M)\,V^2=(m+M)\,g\,h \quad (2)$$

Despejando $V$ de (1) y sustituyendo la expresión resultante en (2), podemos escribir: $$\dfrac{1}{2}\,(m+M)\cdot \left(\dfrac{m}{m+M}\,v\right)^2=(m+M)\,g\,h$$ y simplificando, $$v^2=\left(1+\dfrac{M}{m}\right)^2\cdot 2\,g\,h$$ luego $$v=\left(1+\dfrac{M}{m}\right)\cdot \sqrt{2\,g\,h}$$ En la expresión del segundo miembro, todas las cantidades son conocidas: las masa del proyectil, la masa del bloque (antes de que el proyectil quede incrustado en él) y la altura que alcanza el bloque en el punt más elevado del recorrido pendular, con lo cual podemos calcular así la velocidad con la que se disparó el proyectil. $\diamond$