Consideremos un sistema de partículas $\{P_i\}$ ($i=1,\ldots,n$) y $P_2$, de masas respectivas $\{m_i\}$ ($i=1,\ldots,n$). Escribiremos las ecuaciones del movimiento del sistema, conforme a la dinámica newtoniana.
Sobre la partícula genérica $i$-ésima, actúa una fuerza externa $\vec{F}_i$ y una fuerza interna (debida a la acción de las otras partículas) que podemos escribir de la forma $\displaystyle \sum_{\underset{j=1}{j\neq i}}^{n}\,\vec{f}_{ij}$. Entonces, aplicando la segunda ley de Newton sobre cada partícula se tiene que $$\displaystyle \vec{F}_i+\sum_{\underset{j=1}{j\neq i}}^{n}\,\vec{f}_{ij}=m_i\,\ddot{\vec{r}_i}\quad \forall i=1,\ldots,n$$
Y, sumando las $n$ ecuaciones vectoriales, miembro a miembro: $$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,\vec{F}_i+\sum_{i=1}^{n}(\sum_{\underset{j=1}{j\neq i}}^{n}\,\vec{f}_{ij})=\sum_{i=1}^{n}\,m_i\,\ddot{\vec{r}_i}$$
El primer sumatorio del primer miembro es igual a la fuerza externa resultante, $\vec{F}$, sobre el sistema (principio de superposición); y, en cuanto al sumatorio del segundo miembro referido a las fuerzas internas, teniendo en cuenta la tercera ley de Newton, ha de ser cero, pues éstas se anulan por pares, pues $\vec{f}_{ij}=-\vec{f}_{ji}$, para cada par $(i,j)$; así por ejemplo, par $n=3$,
$\displaystyle \sum_{i=1}^{3}(\sum_{\underset{j=1}{j\neq i}}^{3}\,\vec{f}_{ij})=\vec{f}_{12}+\vec{f}_{13}+\vec{f}_{21}+\vec{f}_{23}+\vec{f}_{31}+\vec{f}_{32}=(\vec{f}_{12}+\vec{f}_{21})+(\vec{f}_{23}+\vec{f}_{32})+(\vec{f}_{13}+\vec{f}_{31})=$
$=\left(\vec{f}_{12}+(-\vec{f}_{12})\right)+\left(\vec{f}_{23}+(-\vec{f}_{23})\right)+\left(\vec{f}_{13}+(-\vec{f}_{13})\right)$
$=\left(\vec{f}_{12}-\vec{f}_{12}\right)+\left(\vec{f}_{23}-\vec{f}_{23}\right)+\left(\vec{f}_{13}-\vec{f}_{13}\right)$
$=\vec{0}+\vec{0}+\vec{0}$
$=\vec{0}$
luego concluimos que $$\displaystyle \vec{F}+\vec{0}=\sum_{i=1}^{n}\,m_i\,\ddot{\vec{r}_i}$$ esto es $$\displaystyle \vec{F}=\sum_{i=1}^{n}\,m_i\,\ddot{\vec{r}_i}$$
Evidentemente, a partir de esta ecuación, conociendo las fuerzas, y las condiciones iniciales, al integrarlas llegaríamos también a conocer las velocidades y las posiciones de cada una de las $n$ partículas del sistema.
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