El teorema de Pitágoras en notación tensorial

A modo de sencillo ejercicio, podemos expresar el teorema de Pitágoras en notación tensorial. La expresión que escribiremos describe de manera natural la operación tensorial que denominamos contracción de índices, la cual incorpora un sumatorio sobreentendido (convenio de Einstein) sin que figure explícitamente en la escritura que vamos a ver.

Consideremos un triángulo rectángulo en el plano, de catetos $x$ e $y$; y de hipotenusa, $z$. Es de sobra conocido lo que expresa el teorema de Pitágoras, que en notación convencional se escribe de la forma: $$z^2=x^2+y^2 \quad (1)$$

Convengamos ahora en denominar a las variables $x$ e $y$ mediante la notación con superíndice -al superíndice le denominamos índice contravariante, que no debemos confundir con el exponente de la expresión de potencia- $\alpha^{\mu}$, donde los valores del índice $\mu$ hagan referencia a $\alpha^1\equiv x$ y $\alpha^2\equiv y$

Por otra parte, la potencia al cuadrado -atención a esta idea, que es clave- podemos expresarla como $x^2\equiv (\alpha^1)^2 := \alpha_{1}\,\alpha^{1}$ y $y^2\equiv (\alpha^2)^2 := \alpha_{2}\,\alpha^{2}$, donde los primeros factores de estos productos se escriben con subíndice -lo denominamos índice covariante-, y los segundos factores, están escritos con índice contravariante.

Así, (1) puede expresarse de la forma $$\alpha_{1}\,\alpha^{1}+\alpha_{2}\,\alpha^{2} \quad (1')$$ y ya puestos a resumir y simplificar la notación (Einstein) basta con sobre entender ahorrarnos la referencia explícita de la suma, que queda implícita en la siguiente expresión final: $$z^2 = \alpha_{\mu}\,\alpha^{\mu} \quad (1'')$$ $\diamond$