El teorema de Pitágoras en notación tensorial

A modo de sencillo ejercicio, podemos expresar el teorema de Pitágoras en notación tensorial. La expresión que escribiremos describe de manera natural la operación tensorial que denominamos contracción de índices, la cual incorpora un sumatorio sobreentendido (convenio de Einstein) sin que figure explícitamente en la escritura que vamos a ver.

Consideremos un triángulo rectángulo en el plano, de catetos $x$ e $y$; y de hipotenusa, $z$. Es de sobra conocido lo que expresa el teorema de Pitágoras, que en notación convencional se escribe de la forma: $$z^2=x^2+y^2 \quad (1)$$

Convengamos ahora en denominar a las variables $x$ e $y$ mediante la notación con superíndice -al superíndice le denominamos índice contravariante, que no debemos confundir con el exponente de la expresión de potencia- $\alpha^{\mu}$, donde los valores del índice $\mu$ hagan referencia a $\alpha^1\equiv x$ y $\alpha^2\equiv y$

Por otra parte, la potencia al cuadrado -atención a esta idea, que es clave- podemos expresarla como $x^2\equiv (\alpha^1)^2 := \alpha_{1}\,\alpha^{1}$ y $y^2\equiv (\alpha^2)^2 := \alpha_{2}\,\alpha^{2}$, donde los primeros factores de estos productos se escriben con subíndice -lo denominamos índice covariante-, y los segundos factores, están escritos con índice contravariante.

Así, (1) puede expresarse de la forma $$\alpha_{1}\,\alpha^{1}+\alpha_{2}\,\alpha^{2} \quad (1')$$ y ya puestos a resumir y simplificar la notación (Einstein) basta con sobre entender ahorrarnos la referencia explícita de la suma, que queda implícita en la siguiente expresión final: $$z^2 = \alpha_{\mu}\,\alpha^{\mu} \quad (1'')$$ $\diamond$

Notación tensorial de la derivación de una función de varias variables

En este artículo voy a expresar la derivación parcial de una función de varias variables empleando la notación tensorial -en particular, empleando el convenio de Einstein-, la cual simplifica notablemente la notación convencional.

Consideremos por ejemplo la función $z=f(x(u,v),y(u,v))$. Entonces, como es bien conocido, las derivadas parciales con respecto de $u$ y $v$, escritas de la manera convencional, son:
$$\dfrac{\partial\,z}{\partial\,u}=\dfrac{\partial\,z}{\partial\,x}\dfrac{\partial\,x}{\partial\,u}+\dfrac{\partial\,z}{\partial\,y}\dfrac{\partial\,y}{\partial\,u} \quad (1)$$ $$\dfrac{\partial\,z}{\partial\,v}=\dfrac{\partial\,z}{\partial\,x}\dfrac{\partial\,x}{\partial\,v}+\dfrac{\partial\,z}{\partial\,y}\dfrac{\partial\,y}{\partial\,v} \quad (2)$$

Ahora bien, si convenimos en denominar a las variables $x$ e $y$ mediante una notación con superíndice (al superíndice le denominamos índice contravariante) $\alpha^{\mu}$, donde los valores del índice $\mu$ hagan referencia a $\alpha^1\equiv x$ y $\alpha^2\equiv y$; y, por otra parte, convenimos en denominar a las variables $u$ e $v$ también mediante una notación con superíndice (índice contravariante) $\beta^{\nu}$, donde los valores del índice $\nu$ hagan referencia a $\beta^1\equiv u$ y $\beta^2\equiv v$, podemos expresar ahora (1) y (2) de una forma mucho más sencilla -obsérvese la presencia implícita de la suma-, en forma tensorial:
$$\dfrac{\partial\,z}{\partial\,\beta^\nu}=\dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^\mu}\dfrac{\partial\,\alpha^\mu}{\partial\,\beta^\nu} \quad (3)$$

Observemos que empleando la notación de los índices contravariantes para designar las variables, (3) involucra los siguientes cuatro términos: $$\begin{matrix} \dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^1}\dfrac{\partial\,\alpha^1}{\partial\,\beta^1} & \dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^2}\dfrac{\partial\,\alpha^2}{\partial\,\beta^1} \\ \dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^2}\dfrac{\partial\,\alpha^2}{\partial\,\beta^1} & \dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^2}\dfrac{\partial\,\alpha^2}{\partial\,\beta^2} \end{matrix}$$ Así pues aparece aquí un objeto matricial que, en este contexto representa un tensor de derivación: $$\begin{pmatrix} \dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^1}\dfrac{\partial\,\alpha^1}{\partial\,\beta^1} & \dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^2}\dfrac{\partial\,\alpha^2}{\partial\,\beta^1} \\ \dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^2}\dfrac{\partial\,\alpha^2}{\partial\,\beta^1} & \dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^2}\dfrac{\partial\,\alpha^2}{\partial\,\beta^2} \end{pmatrix}$$ que bien podemos expresar de la siguiente manera: $$\mathcal{D}:=\begin{pmatrix}D_{11}&D_{12} \\ D_{21}&D_{22}\end{pmatrix}$$ donde, obviamente, $D_{11}:=\dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^1}\dfrac{\partial\,\alpha^1}{\partial\,\beta^1}$, $D_{12}:=\dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^2}\dfrac{\partial\,\alpha^2}{\partial\,\beta^1}$, $D_{21}=\dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^2}\dfrac{\partial\,\alpha^2}{\partial\,\beta^1}$ y $D_{22}:=\dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^2}\dfrac{\partial\,\alpha^2}{\partial\,\beta^2}$, donde, ahora, los subíndices indican simplemente la ubicación de los elementos en la matriz (índices de fila y columna, respectivamente) $\diamond$

Álgebra tensorial básica

Aplicaciones multilineales

Consideremos los espacios vectoriales $E_1,E_2,\ldots,E_p$ y $F$ sobre un cuerpo conmutatiovo $\mathbb{K}$. Decimos que $f:E_1\times E_2\times\ldots\times E_p \rightarrow F$ es una aplicación multilineal, si es lineal en cada espacio $E_i$, $i=1,2,\ldots,p$. Dicho de otro modo, si:

1. $f(u_1,u_2,\ldots,u_i+u'_i,u_{i+1},u_{i+2},\ldots,u_p)=f(u_1,u_2,\ldots,u_{i-1},u_i,u_{i+1},u_{i+2},\ldots,u_p)+$ $+f(u_1,u_2,\ldots,u_{i-1},u'_i,u_{i+1},u_{i+2},\ldots,u_p)$ $\forall \,u_i \in E_i,\,1\le i \le p$, $\forall u'_{i}\in E_i$
2. $f(u_1,u_2,\ldots, u_{i-1}\,\lambda u_i,u_{i+1},u_{i+2},\ldots,u_p)=\lambda\,f(u_1,u_2,\ldots,u_{i-1}\,u_i,u_{i+1},u_{i+2},\ldots,u_p)$ $\forall \,u_i \in E_i,\,1\le i \le p$ y $\forall k\in \mathbb{K}$

Formas multilineales (tensores)

Tensores covariantes

Si los espacios vectoriales $E_1,E_2,\ldots,E_p$ se consideran el mismo e.v. $E$ sobre $\mathbb{K}$, y por el e.v. $F$ entendemos el propio $\mathbb{K}$ puesto que, con las operaciones de suma y producto, $\mathbb{K}$ tiene estructura de espacio vectorial . Decimos que el conjunto de las aplicaciones multilineales de $E^p:=E\times E \times \ldots \times E$ en $\mathbb{K}$ es el conjunto de las formas multilineales $T_{p}(E)$ o conjunto de tensores covarintes de orden $p$. En particular, el conjunto de formas lineales de $E$ en $\mathbb{K}$, esto es, $T_{1}(E)$, es el espacio dual de $E$, al que designamos habitualmente por $E^*$.

Tensores contravariantes

Si los espacios vectoriales $E_1,E_2,\ldots,E_q$ son ahora, todos ellos iguales al espacio dual de $E$, $E^*$ y $F=\mathbb{K}$, Decimos que el conjunto de las formas multilineales de $E^* \times E^* \times \ldots \times E^*=:E^{*^{q}}$ en $\mathbb{K}$ es el conjunto de tensores contravariantes de orden $q$, y se le designa por $T^q(E)$. Observemos por tanto que, en particular, $T^1(E)=E^{**}$ es el espacio bidual de $E$.

Tensores mixtos

Las formas multilineales de $E^p \times E^{*^{q}}$ en $\mathbb{K}$ constituyen el conjunto de los tensores llamados mixtos $p$ veces covariantes y $q$ veces contravariantes, y se denota por $T_{q}^{p}(E)$. En particular, y de manera convenida podemos denotar $\mathbb{K}$ como $T_{0}^{0}(E)$.

Estructura de los conjuntos de tensores $p$ covariantes, $q$ contravariantes, y mixtos ($p$ covariantes, $q$ contravariantes) con las operaciones de suma y producto por escalares:

Los conjuntos de tensores $(T_p(E),+,\cdot_{\mathbb{K}})$, $(T^q(E),+,\cdot_{\mathbb{K}})$ y $(T_{p}^{q}(E),+,\cdot_{\mathbb{K}})$ tienen estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$.

La operación producto tensorial

Conviene hablar también de otra operación, conocida como producto tensorial. Consideremos los tensores $f\in T_m(E)$ ($m$ veces covariante) y $g\in T_n(E)$ ($n$ veces covariante) cualesquiera. Entonces, se define el producto tensorial de $f$ por $g$ (y se denota por $T_{m+n}$) como $$(f \oplus g)(x_1,x_2,\ldots,x_m,x_{m+1},\ldots,x_{m+n}):=f(x_1,x_2,\ldots,x_m)\cdot g(x_1,\ldots,x_n)$$ donde $\cdot$ indica el producto en $\mathbb{K}$.

De manera análoga podemos definir el producto tensorial de tensores contravariantes y también el producto tensorial de tensores mixtos.

Propiedades del producto tensorial

Para tensores $f,g,h$ cualesquiera, se tiene que:
(1) En general, $f \oplus g \neq g \oplus f$ (el producto tensorial no es conmutativo)
(2) $(f \oplus g ) \oplus h = f \oplus (g \oplus h)$ (se cumple la propiedad asociativa)
(3) $(\lambda \,f) \oplus g ) = \lambda\,(f \oplus g) = f \oplus (\lambda\,g)$, $\forall \lambda\in \mathbb{K}$
(4) $\left\{ \begin{matrix}(f + g ) \oplus h = f \oplus h + (g \oplus h) \\ f \oplus (g + h) = f \oplus g + f \oplus h\end{matrix}\right.$ (propiedad doblemente distributiva de $+$ con respecto de $\oplus$, y de $\oplus$ con respecto a $+$)

Nota: Iré completando estos apuntes