Notación tensorial de la derivación de una función de varias variables

En este artículo voy a expresar la derivación parcial de una función de varias variables empleando la notación tensorial -en particular, empleando el convenio de Einstein-, la cual simplifica notablemente la notación convencional.

Consideremos por ejemplo la función $z=f(x(u,v),y(u,v))$. Entonces, como es bien conocido, las derivadas parciales con respecto de $u$ y $v$, escritas de la manera convencional, son:
$$\dfrac{\partial\,z}{\partial\,u}=\dfrac{\partial\,z}{\partial\,x}\dfrac{\partial\,x}{\partial\,u}+\dfrac{\partial\,z}{\partial\,y}\dfrac{\partial\,y}{\partial\,u} \quad (1)$$ $$\dfrac{\partial\,z}{\partial\,v}=\dfrac{\partial\,z}{\partial\,x}\dfrac{\partial\,x}{\partial\,v}+\dfrac{\partial\,z}{\partial\,y}\dfrac{\partial\,y}{\partial\,v} \quad (2)$$

Ahora bien, si convenimos en denominar a las variables $x$ e $y$ mediante una notación con superíndice (al superíndice le denominamos índice contravariante) $\alpha^{\mu}$, donde los valores del índice $\mu$ hagan referencia a $\alpha^1\equiv x$ y $\alpha^2\equiv y$; y, por otra parte, convenimos en denominar a las variables $u$ e $v$ también mediante una notación con superíndice (índice contravariante) $\beta^{\nu}$, donde los valores del índice $\nu$ hagan referencia a $\beta^1\equiv u$ y $\beta^2\equiv v$, podemos expresar ahora (1) y (2) de una forma mucho más sencilla -obsérvese la presencia implícita de la suma-, en forma tensorial:
$$\dfrac{\partial\,z}{\partial\,\beta^\nu}=\dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^\mu}\dfrac{\partial\,\alpha^\mu}{\partial\,\beta^\nu} \quad (3)$$

Observemos que empleando la notación de los índices contravariantes para designar las variables, (3) involucra los siguientes cuatro términos: $$\begin{matrix} \dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^1}\dfrac{\partial\,\alpha^1}{\partial\,\beta^1} & \dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^2}\dfrac{\partial\,\alpha^2}{\partial\,\beta^1} \\ \dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^2}\dfrac{\partial\,\alpha^2}{\partial\,\beta^1} & \dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^2}\dfrac{\partial\,\alpha^2}{\partial\,\beta^2} \end{matrix}$$ Así pues aparece aquí un objeto matricial que, en este contexto representa un tensor de derivación: $$\begin{pmatrix} \dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^1}\dfrac{\partial\,\alpha^1}{\partial\,\beta^1} & \dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^2}\dfrac{\partial\,\alpha^2}{\partial\,\beta^1} \\ \dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^2}\dfrac{\partial\,\alpha^2}{\partial\,\beta^1} & \dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^2}\dfrac{\partial\,\alpha^2}{\partial\,\beta^2} \end{pmatrix}$$ que bien podemos expresar de la siguiente manera: $$\mathcal{D}:=\begin{pmatrix}D_{11}&D_{12} \\ D_{21}&D_{22}\end{pmatrix}$$ donde, obviamente, $D_{11}:=\dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^1}\dfrac{\partial\,\alpha^1}{\partial\,\beta^1}$, $D_{12}:=\dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^2}\dfrac{\partial\,\alpha^2}{\partial\,\beta^1}$, $D_{21}=\dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^2}\dfrac{\partial\,\alpha^2}{\partial\,\beta^1}$ y $D_{22}:=\dfrac{\partial\,z}{\partial\,\alpha^2}\dfrac{\partial\,\alpha^2}{\partial\,\beta^2}$, donde, ahora, los subíndices indican simplemente la ubicación de los elementos en la matriz (índices de fila y columna, respectivamente) $\diamond$