Ecuaciones de movimiento de un sistema de partículas puntuales

Consideremos un sistema de partículas $\{P_i\}$ ($i=1,\ldots,n$) y $P_2$, de masas respectivas $\{m_i\}$ ($i=1,\ldots,n$). Escribiremos las ecuaciones del movimiento del sistema, conforme a la dinámica newtoniana.

Sobre la partícula genérica $i$-ésima, actúa una fuerza externa $\vec{F}_i$ y una fuerza interna (debida a la acción de las otras partículas) que podemos escribir de la forma $\displaystyle \sum_{\underset{j=1}{j\neq i}}^{n}\,\vec{f}_{ij}$. Entonces, aplicando la segunda ley de Newton sobre cada partícula se tiene que

$$\displaystyle \vec{F}_i+\sum_{\underset{j=1}{j\neq i}}^{n}\,\vec{f}_{ij}=m_i\,\ddot{\vec{r}_i}\quad \forall i=1,\ldots,n$$ Y, sumando las $n$ ecuaciones vectoriales, miembro a miembro: $$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,\vec{F}_i+\sum_{i=1}^{n}(\sum_{\underset{j=1}{j\neq i}}^{n}\,\vec{f}_{ij})=\sum_{i=1}^{n}\,m_i\,\ddot{\vec{r}_i}$$ El primer sumatorio del primer miembro es igual a la fuerza externa resultante, $\vec{F}$, sobre el sistema (principio de superposición); y, en cuanto al sumatorio del segundo miembro referido a las fuerzas internas, teniendo en cuenta la tercera ley de Newton, ha de ser cero, pues éstas se anulan por pares, pues $\vec{f}_{ij}=-\vec{f}_{ji}$, para cada par $(i,j)$, luego concluimos que $$\displaystyle \vec{F}=\sum_{i=1}^{n}\,m_i\,\ddot{\vec{r}_i}$$ Evidentemente, a partir de esta ecuación, conociendo las fuerzas, y las condiciones iniciales, al integrarlas llegaríamos también a conocer las velocidades y las posiciones de cada una de las $n$ partículas del sistema.

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