Ecuaciones de movimiento de un sistema de partículas puntuales

Consideremos un sistema de partículas $\{P_i\}$ ($i=1,\ldots,n$) y $P_2$, de masas respectivas $\{m_i\}$ ($i=1,\ldots,n$). Escribiremos las ecuaciones del movimiento del sistema, conforme a la dinámica newtoniana.

Sobre la partícula genérica $i$-ésima, actúa una fuerza externa $\vec{F}_i$ y una fuerza interna (debida a la acción de las otras partículas) que podemos escribir de la forma $\displaystyle \sum_{\underset{j=1}{j\neq i}}^{n}\,\vec{f}_{ij}$. Entonces, aplicando la segunda ley de Newton sobre cada partícula se tiene que $$\displaystyle \vec{F}_i+\sum_{\underset{j=1}{j\neq i}}^{n}\,\vec{f}_{ij}=m_i\,\ddot{\vec{r}_i}\quad \forall i=1,\ldots,n$$ Y, sumando las $n$ ecuaciones vectoriales, miembro a miembro: $$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,\vec{F}_i+\sum_{i=1}^{n}(\sum_{\underset{j=1}{j\neq i}}^{n}\,\vec{f}_{ij})=\sum_{i=1}^{n}\,m_i\,\ddot{\vec{r}_i}$$ El primer sumatorio del primer miembro es igual a la fuerza externa resultante, $\vec{F}$, sobre el sistema (principio de superposición); y, en cuanto al sumatorio del segundo miembro referido a las fuerzas internas, teniendo en cuenta la tercera ley de Newton, ha de ser cero, pues éstas se anulan por pares, pues $\vec{f}_{ij}=-\vec{f}_{ji}$, para cada par $(i,j)$; así por ejemplo, par $n=3$,
$\displaystyle \sum_{i=1}^{3}(\sum_{\underset{j=1}{j\neq i}}^{3}\,\vec{f}_{ij})=\vec{f}_{12}+\vec{f}_{13}+\vec{f}_{21}+\vec{f}_{23}+\vec{f}_{31}+\vec{f}_{32}=(\vec{f}_{12}+\vec{f}_{21})+(\vec{f}_{23}+\vec{f}_{32})+(\vec{f}_{13}+\vec{f}_{31})=$   $=\left(\vec{f}_{12}+(-\vec{f}_{12})\right)+\left(\vec{f}_{23}+(-\vec{f}_{23})\right)+\left(\vec{f}_{13}+(-\vec{f}_{13})\right)$
    $=\left(\vec{f}_{12}-\vec{f}_{12}\right)+\left(\vec{f}_{23}-\vec{f}_{23}\right)+\left(\vec{f}_{13}-\vec{f}_{13}\right)$
      $=\vec{0}+\vec{0}+\vec{0}$
        $=\vec{0}$
luego concluimos que $$\displaystyle \vec{F}+\vec{0}=\sum_{i=1}^{n}\,m_i\,\ddot{\vec{r}_i}$$ esto es $$\displaystyle \vec{F}=\sum_{i=1}^{n}\,m_i\,\ddot{\vec{r}_i}$$ Evidentemente, a partir de esta ecuación, conociendo las fuerzas, y las condiciones iniciales, al integrarlas llegaríamos también a conocer las velocidades y las posiciones de cada una de las $n$ partículas del sistema.

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Dinámica de una gota de agua en el parabrisas de un vehículo en aceleración

Una gota de agua de lluvia cae en el parabrisas de un vehículo. El parabrisas forma un ángulo $\theta$ con respecto al plano horizontal. El rozamiento entre la gota y la superficie del parabrisas es $\mu$. Se quiere calcular la aceleración que tiene que tener el coche para que la gota de agua no deslize hacia abajo.

Situemos el sistema de referencia en el centro de la gota, con el eje Ox en la dirección del movimiento del vehículo, y el eje Oy en la dirección perpendicular a ésta. Descompongamos las fuerzas actuantes (peso, normal a la superficie del parabrisas, y la fuerza de rozamiento entre la gota y la superficie del parabrisas) según las direcciones de los ejes del sistema de referencia:
  Ox: $N\cdot \sin(\theta) - \mu\,N\,\cos(\theta)=m\,a$
  Oy: $N\cdot \cos(\theta) + \mu\,N\,\sin(\theta)-m\,g=0$
(la gota no se mueve a lo largo del eje Oy)
Simplificando,
  Ox: $N\,(\sin(\theta) - \mu\,\cos(\theta))=m\,a \quad (1)$
  Oy: $N\,(\cos(\theta) + \mu\,\sin(\theta)=m\,g \quad \;\, (2)$
Dividiendo, miembro a miembro, (1) entre (2) y despejando $a$ llegamos a $$a=g\cdot \dfrac{\tan(\theta)-\mu}{1+\mu\,\tan(\theta)}$$

Así, como ejempo, para un ángulo del parabrisas, pongamos que de $30^\circ$ y $\mu=0,25$, se tiene que $a=9,81\cdot \tan(30^\circ) \approx 2,81 \,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$, que, dicho sea de paso, viene a ser la aceleración de un coche rápido que pase de 0 km/h a 100 km/h en 10 segundo, más o menos.

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Dinámica de dos bloques en contacto en una superficie plana sin rozamiento al aplicar una fuerza a uno de ellos

Un bloque $B_1$ de masa $m_1$ y un segundo bloque $B_2$ de masa $m_2$ se encuentran en contacto y en reposo sobre una superficie horizontal. El rozamiento de ambos bloques con la superficie plana se considera despreciable. Se aplica a $B_1$ una fuerza $F$ en la cara opuesta a la enfrentada con el bloque $B_2$. Queremos calcular la aceleración $a$ del movimiento del conjunto formado por los dos bloques en la dirección de la fuerza aplicada, así como la fuerza con la que el bloque $B_1$ actúa sobre el bloque $B_2$.

Como el problema es unidemensional, omitiré la notación vectorial. Consideremos el subsistema (1) formado por el bloque $B_1$ en contacto con $B_2$, según la segunda ley de Newton se tiene que $F-f_{21}=m_1\,a$, donde $f_{21}$ representa la fuerza que $B_2$ ejerce sobre $B_1$, que tiene sentido opuesto a $F$; por otra parte, considerando el subsistema (2) formado por el bloque $B_2$ en contacto con $B_1$, es claro que actúa sobre $B_2$ una fuerza $f_{12}$ (de sentido opuesto a $f_{21}$) que le transmite el bloque $B_1$, luego aplicando la segunda ley de Newton en (2), podemos escribir $f_{12}=m_2\,a$.

Por la tercera ley de Newton, es claro que $f_{21}$ y $f_{12}$ son iguales en módulo, esto es, $f_{12}=f_{21}=:f$. Luego, tenemos que resolver el siguiente sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix} F-f=m_1\,a \\ f=m_2\,a\end{matrix}\right.$$ de donde, muy fácilmente, se obtiene como solución la aceleración y la fuerza pedidas: $$\begin{matrix} a=\dfrac{F}{m_1+m_2} \\ \\ f=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,F\end{matrix}$$ $\diamond$

Dos bloques unidos por una cuerda ...

Dos bloques, $B_1$ y $B_2$, de masas respectivas $m_1$ y $m_2$, reposan sobre una plano horizontal, estando unidos ambos bloques por una cuerda inextensible (sin que forme comba). Se supone que el rozamiento es despreciable y que el suelo es lo suficientemente resistente para soportar el peso de los dos bloques (en la dirección perpendicuclar al suelo, el peso de cada bloque se compensa con la reacción normal ejercida por el suelo). Se tira del bloque $B_1$ mediante una fuerza $F$ alineada con los bloques y la cuerda que los une, haciendo que el conjunto se mueva en la dirección y sentido de la fuerza, por tanto, omitiré la notación vectorial. Voy a calcular la aceleración del conjunto así como la tensión $T$ a la que se somete la cuerda que une los dos bloques.

Aplicando la segunda ley de Newton al subsistema formado por el bloque $B_1$ y la cuerda que lo une al otro bloque, se tiene que $F-T=m_1\,a \quad (1)$; y, aplicando a su vez la segunda le de Newton al subsistema formado por el bloque $B_2$ y la cuerda que lo une al primer bloque: $T=m_2\,a\quad (2)$

Sustituyendo $(2)$ en $(1)$ se llega a $F=(m_1+m_2)\,a$, luego $a=\dfrac{F}{m_1+m_2}$, y, sustituyendo este resultado en $(2)$, se obtiene la tensión de la cuerda: $T=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,a$, que puede expresarse de la forma $T=\dfrac{1}{1+\frac{m_1}{m_2}}\,a$; así, vemos que, en el caso límite $m_2 \ll m_1$, se obtiene $\frac{m_1}{m_2} \rightarrow +\infty \therefore T \rightarrow 0$ y $a \sim \dfrac{F}{m_1}$, como debe ser. $\diamond$

Un bloque encima de otro, ambos en reposo y sobre el suelo. Fuerza de reacción del suelo.

Consideremos un conjunto de dos bloques rígidos, descansando uno sobre el otro, y reposando el conjunto sobre el suelo (horizontal), al que designaremos $T$. El bloque superior, $S$, tiene una masa $m_S$ y el bloque inferior, $I$, una masa $m_I$. Nos preguntamos cuál es la fuerza normal que $T$ ejerce sobre $I$, la fuerza que $S$ ejerce sobre $I$ y la fuerza que $I$ ejerce sobre $S$.

Analicemos el subsistema formado por el cuerpo $S$, que reposa sobre la cara superior del bloque $I$: Las fuerzas actuantes son $F_{I\rightarrow S}$ (fuerza que el bloque inferior, $I$, ejerce sobre el bloque superior $S$, y $P_S$ (el peso del cuerpo superior $S$); la correspondiente ecuación del balance de fuerzas es, $F_{I\rightarrow S}-P_S=0 \quad (1)$ (como todas las fuerzas tienen la misma dirección, puede omitirse la notación vectorial).

Analicemos también el subsistema formado por el cuerpo $I$ (sin olvidar que el bloque $S$ se carga sobre $I$), que reposa sobre el suelo $T$: Las fuerzas actuantes son: $F_{T\rightarrow I}$, que es la fuerza que $T$ ejerce sobre $I$; $F_{S\rightarrow I}$ (fuerza que el bloque $S$ ejerce sobre el bloque $I$), y $P_S$ (el peso del cuerpo $S$); entonces, la correspondiente ecuación del balance de fuerzas es $F_{T\rightarrow I}-F_{S\rightarrow I}-P_{I}=0 \quad (2)$ (al igual que en la ecuación $(1)$, como todas las fuerzas tienen la misma dirección, puede omitirse la notación vectorial).

De $(1)$, se obtiene que $F_{I\rightarrow S}-P_S$, y como $P_S=m_{S}\,g$ (siendo $g$ la intensidad del campo gravitatorio), deducimos que $F_{I\rightarrow S}=m_{S}\,g$. Por otra parte, por el principio de acció-reacción, $F_{I\rightarrow S}=F_{S\rightarrow I}=m_{S}\,g$, luego de $(2)$ se tiene que $F_{T\rightarrow I}-m_{S}\,g-m_{I}\,g=0$; en cosecuencia, $F_{T\rightarrow I}=m_{S}\,g+m_{I}\,g$

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Análisis de la dinámica de un Yo-yo

Un cilindro de radio $r$ tiene enrrollado un hilo resistente, a modo de Yo-yo. El extremo de dicho hilo se ancla al techo, y el cilindro (Yo-yo) queda de esta manera suspendido. La masa del cilindro es $m$ y la masa del hilo se considera despreciable. Voy a calcular la tensión del hilo $T$ y la aceleración $a$ con la que el cilindro desciende hacia el suelo.

Partiremos de la segunda ley de Newton (la suma de fuerzas ha de ser igual a la masa por la aceleración del descenso); y, al haber también movimiento de giro, también de la ecuación de los momentos (la suma de momentos con respecto al eje de rotación del Yo-yo ha de ser igual al momento de inercia del mismo $I$ multiplicado por la aceleración angular $\alpha$). Es decir:

• $T\,r=I\,\alpha \quad (1)$
• $P-T=m\,a \quad (2)$

Teniendo en cuenta que, tratándose de un cilindro, su momento de intercia es $I=\dfrac{1}{2}\,m\,r^2$, podemos escribir $(1)$ de la forma $T\,r=\dfrac{1}{2}\,m\,r^2\,\alpha$, que simplificado queda, $T=\dfrac{m\,r\,\alpha}{2} \quad (1')$

Como, además, $a=m\,\alpha$, y $P=m\,g$ (siendo $g$ la intensidad del campo gravitatorio), la ecuación $(2)$ puede escribirse de la forma $m\,g-\dfrac{m\,r\,\alpha}{2}=m\,r\,\alpha$, que, al simplificar, nos lleva a $\alpha\,r=\dfrac{2}{3}\,g \quad (2')$, esto es, $a=\dfrac{2}{3}\,g$. Y al sustituir $(2')$ en $(1')$, se llega a $T=\dfrac{m\,g}{3}=\dfrac{1}{3}\,P$

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Aplicación de la segunda ley de Newton. Obtención de las ecuaciones del movimiento. Ejemplos

ENUNCIADO
Un objeto de $4\,\text{kg}$ está sometido a la acción de dos fuerzas: $\vec{F}_1=2\,\vec{i}-3\,\vec{j}$ y $\vec{F}_2=4\,\vec{i}-11\,\vec{j}$ (componentes expresadas en newtons). El objeto está en reposo en el origen del sistema de referencia en el instante $t=0\, \text{s}$. Se pide:
  a) ¿Cuál es la aceleración del objeto en el instante $t=0\,\text{s}$?
  b) ¿Cuál es su velocidad en el instante $t=3\,\text{s}$?
  c) ¿Dónde está el objeto en el instante $t=3\,\text{s}$?

Este ejercicio corresponde al ejercicio propuesto núm. 17, p 101 de la referencia [1]).

SOLUCIÓN
  a) La resultante de las fuerzas es $\vec{R}=\vec{F}_1+\vec{F}_2=(2\,\vec{i}-3\,\vec{j})+(4\,\vec{i}-11\,\vec{j})=6\,\vec{i}-14\,\vec{j}$, con lo cual, por la segunda ley de Newton, $\vec{a(t)}=\dfrac{\vec{R}}{m}=\dfrac{6\,\vec{i}-14\,\vec{j}}{4}=\dfrac{3}{2}\,\vec{i}-\dfrac{7}{2}\,\vec{j}$ (componentes expresadas en $\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$). Nota: Observemos que, en este caso, el vector aceleración es constante (no depende de $t$).
  b) De $\vec{a(t)}:=\dfrac{d\vec{v(t)}}{dt}$ se tiene que $d\,\vec{v(t)}=\vec{a(t)}\,dt$, luego $\int\,d\,\vec{v(t)}=\int\,\vec{a}\,dt$ y por tanto $\int_{0}^{3}\,d\,\vec{v(t)}=\int_{0}^{3}\,\vec{a}\,dt$; esto es, $\displaystyle \vec{v(3)}-\vec{v(0)}\overset{\text{enunciado}}{=}\vec{v(3)}-\vec{0}=\vec{v(3)}=\int_{0}^{3}\,\left(\dfrac{3}{2}\,\vec{i}-\dfrac{7}{2}\,\vec{j}\right)\,dt=\displaystyle \left[ \left(\dfrac{3}{2}\,\vec{i}-\dfrac{7}{2}\,\vec{j}\right)\,t \right]_{0}^{3}=\dfrac{9}{2}\,\vec{i}-\dfrac{21}{2}\,\vec{j}$ (componentes expresadas en $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$). Nota: Dadas las condiciones iniciales del enunciado, para un valor genérico de $t$ se tiene que el vector velocidad para un instane de tiempo $t$ es $\vec{v(t)}=\dfrac{3}{2}\,t\,\vec{i}-\dfrac{7}{2}\,t\,\vec{j}$ (componentes expresadas en $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$).
  c) De $\vec{v(t)}:=\dfrac{d\vec{r(t)}}{dt}$ se tiene que $d\,\vec{r(t)}=\vec{v(t)}\,dt$, luego $\int\,d\,\vec{r(t)}=\int\,\vec{v(t)}\,dt$ y por tanto $\int_{0}^{3}\,d\,\vec{r(t)}=\vec{r(3)}-\vec{r(0)}=\int_{0}^{3}\,\vec{v(t)}\,dt$, y teniendo en cuenta que (enunciado) $\vec{r(0)=\vec{0}}$, $\displaystyle \vec{r(3)}-\vec{0}=\vec{r(3)}=\int_{0}^{3}\,\left(\dfrac{3}{2}\,t\,\vec{i}-\dfrac{7}{2}\,t\,\vec{j}\right)\,dt=\displaystyle \left[ \left(\dfrac{3}{4}\,t^2\,\vec{i}-\dfrac{7}{4}\,t^2\,\vec{j}\right)\,t \right]_{0}^{3}=\dfrac{27}{4}\,\vec{i}-\dfrac{63}{4}\,\vec{j}$ (componentes expresadas en $\text{m}$).

Nota: Por las condiciones iniciales expresadas en el enunciado se tiene que el vector de posición para un valor genérico de $t$, $\vec{r(t)}=\dfrac{3}{4}\,t^2\,\vec{i}-\dfrac{7}{4}\,t^2\,\vec{j}$ (componentes expresadas en $\text{m}$). $\diamond$

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Referencias:
[1] P.A. Tipler, Física para la ciencia y la tecnología (cuarta edición), Reverté, 2001.

Aplicación de la segunda ley de Newton. Ejemplos

ENUNCIADO
Para arrastrar un tronco de $75\,\text{kg}$ por el suelo con velocidad constante se tira de él horizontalmente con una fuerza de $250\,\text{N}$. Se pide:
  a) La fuerza resistente con el suelo
  b) ¿Qué fuerza debemos ejercer si se desea dar al tronco una aceleración de $2\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$?
Este ejercicio corresponde al ejercicio propuesto núm. 15, p 101 de la referencia [1]).

SOLUCIÓN
  a) Si la velocidad de desplazamiento es constante la suma de la fuerza impulsora y la de resistencia ha de ser nula (la primera actúa en el sentido del movimiento y la segunda en sentido opuesto), luego la fuerza de resistencia pedida es de $250\,\text{N}$.
  b) Denotemos por $F$ la fuerza impulsora y por $F_r$ la fuerza de resistencia —omitimos el signo de vector por tratarse de un problema unidimensional—. Por la segunda ley de Newton, podemos escribir $a=\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,f_i}{m}=\dfrac{F-F_r}{m}$; con los datos del problema, se tiene que $2=\dfrac{F-250}{75}$, de donde, despejando $F$, se llega a $F=400\,\text{N}$. $\diamond$

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Referencias:
[1] P.A. Tipler, Física para la ciencia y la tecnología (cuarta edición), Reverté, 2001.

Aplicación de la segunda ley de Newton. Ejemplos

ENUNCIADO
Un vehículo tractor arrastra un remolque con una fuerza constante $\vec{F}_1$ en la dirección y sentido del movimiento, produciendo un aumento de velocidad de $4\,\dfrac{\text{km}}{h}$ en un intervalo de $10\,\text{s}$. El mismo vehículo tractor arrastra ahora el mismo remolque con una fuerza $\vec{F}_2$ en la dirección y sentido del movimiento, dando ahora un aumento velocidad de $12\,\dfrac{\text{km}}{h}$ en un intervalo de $10\,\text{s}$. Despreciando el rozamiento con el suelo, determínese la razón entre $\vec{F}_2$ y $\vec{F}_1$ . Este ejercicio está basado en el ejercicio propuesto núm. 11, p 101 de la referencia [1]).

SOLUCIÓN
En el subsistema remolque, por la segunda ley de Newton podemos escribir que $\dfrac{F_1}{m}:=a_1\approx \dfrac{\Delta\,v_1}{\Delta\,t_1}$, donde $m$ es la masa del remolque; y, por otra parte, de la segunda situación: $\dfrac{F_2}{m}:=a_2\approx \dfrac{\Delta\,v_2}{\Delta\,t_2}$. Como $\Delta\,t_1=\Delta\,t_2=10\,\text{s}$, dividiendo miembro a miembro las dos igualdades anteriores se tiene que $\dfrac{F_2}{F_1}\overset{(1)}{=}\dfrac{12}{4}=3\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$.

Nota 1. Los factores de conversión a unidades del S.I. se cancelan al hacer el cociente.

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Referencias:
[1] P.A. Tipler, Física para la ciencia y la tecnología (cuarta edición), Reverté, 2001.

Aplicación de la segunda ley de Newton. Ejemplos

ENUNCIADO
Una fuerza $\vec{F}=4\,\vec{i}-4\,\vec{j}$ (las componentes vienen expresadas en newtons) actúa sobre un cuerpo de masa $4\,\text{kg}$. Determínese el módulo del vector aceleración del cuerpo. Este ejercicio está basado en el ejercicio propuesto núm. 13, p 101 de la referencia [1]).

SOLUCIÓN
El módulo de la aceleración es igual al cociente entre el módulo de la fuerza y la masa del cuerpo (segunda ley de Newton). Entonces, $|\vec{F}|=\sqrt{4^2+(-4)^2}=4\,\sqrt{2}\,\text{N}$, y por tanto, $|\vec{a}|=\dfrac{4\,\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}\,\dfrac{\text{m}}{s^2}$. $\diamond$

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Referencias:
[1] P.A. Tipler, Física para la ciencia y la tecnología (cuarta edición), Reverté, 2001.

Polea con masa no despreciable; esto es: gira al deslizar por su ranura un cuerda con tensión

En ambos casos, las cuerdas están enrolladas en las correspondientes partes cilíndricas de la polea; éstas, por tanto, giran solidariamente por efecto del peso de los cuerpos que cuelgan de los extremos. En el primer caso, ambas cuerdas se desenrollan en el mismo sentido; en el segundo, mientras una se enrolla ( la que corresponde al cuerpo de menor masa que cuelga de ella ), la otra ( de la que pende el cuerpo de mayor masa ) se desenrolla. En cualquiera de los dos casos, la polea ( formada por los dos cilindros unidos en una sola pieza ) gira siempre en el mismo sentido. En cada una de las situaciones ( reseñadas en la imagen con A y B ), y a partir de los datos ( los radios de los dos cilindros que componen la polea, las masa de los cuerpos que cuelgan de las cuerdas, el momento de inercia de la polea ) los respectivos sistemas de ecuaciones planteados permiten calcular las tensiones, las aceleraciones lineales y la aceleración angular de la polea.

Un trozo de cadena deslizándose por el borde de una mesa ...

ENUNCIADO
Sobre una mesa reposa un trozo de cuerda ( de densidad lineal, $\delta$, homogénea ), de longitud $l$. Una parte de dicha cuerda cuelga por el borde de la mesa, formando la cuerda un ángulo recto con la arista/borde. El coeficiente de rozamiento de la mesa con la cuerda es $\mu$. Calcúlese la velocidad, $v$, de un punto de la cuerda cuando, en su caída, el extremo que reposaba sobre la mesa pasa por el borde.

SOLUCIÓN
Supondremos que la cuerda empieza a caer con velocidad inicial nula ( equilibrio ) y, por tanto, esto se produce para una cierta longitud del tramo que cuelga, que denominaremos $x_0$. Teniendo en cuenta el principio de conservación de la energía mecánica, y despreciando la pérdida por disipación de calor debida al roce de la cuerda con la mesa, el cambio de energía cinética, $\Delta\,K$, debe ser igual al trabajo realizado, $\Delta\,W$, por la fuerza activa que actúa sobre la cuerda y que da lugar al movimiento de la misma - desde que empieza el movimiento hasta la situación pedida en el enunciado - ( Teorema de las fuerzas vivas ), esto es, $$\Delta\,K=\Delta\,W$$ por tanto $$\dfrac{1}{2}\,m\,v^2-\dfrac{1}{2}\,m\cdot 0^2=\displaystyle \int_{x_0}^{l}\,F(x)\,dx$$ y como la masa, $m$, de la cuerda es $m=\delta\,l$, podemos escribir $$ \dfrac{1}{2}\,\delta\,l\,v^2=\displaystyle \int_{x_0}^{l}\,F(x)\,dx \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (1)$$
siendo $x$ la longitud de cuerda que cuelga por el borde en cada instante de tiempo

Calculemos el valor de $x_0$ imponiendo la condición de equilibrio: $$g\,(l-x_0)\,\delta\,\mu = x_0\,\delta\,g$$
y de aquí encontramos $$x_0=\dfrac{\mu}{\mu+1}\,l$$

Por otra parte, la función que describe la fuerza global que actúa sobre la cuerda para cada valor de $x$ es $$F(x)=\delta\,g\,x- \delta\,g\,\mu\,(l-x)$$ esto es $$F(x)=\delta\,g\,\left((\mu+1)\,x-\mu\,l\right)$$ Así, el segundo miembro de (1) es igual a $$\displaystyle \delta\,g\,\,\int_{\frac{\mu}{\mu+1}\,l}^{l}\,\left((\mu+1)\,x-\mu\,l\right)\,dx $$ y por, el Primer y el Segundo Teoremas Fundamentales del Cálculo, obtenemos como resultado de dicha integral definida $$\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\delta\,g\,l^2}{\mu+1}$$ por lo que la igualdad (1) nos queda $$\dfrac{1}{2}\,\delta\,l\,v^2=\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\delta\,g\,l^2}{\mu+1}$$ así que, despejando $v$, llegamos a $$v=\sqrt{\dfrac{g\,l}{\mu+1} }$$

Así, por ejemplo, si $\mu =0,8$ y $l=0,5\, \text{m}$, la longitud del trozo de cuerda que cuelga cuando empieza el movimiento ( posición de equilibrio ) es de $x_0=\dfrac{0,8}{0,8+1}\cdot 0,5 \approx 0,22 \, \text{m}$, y la velocidad de un punto de la cuerda cuando el extremo izquierdo de la misma abandona la mesa es igual a $\sqrt{\dfrac{9,81 \cdot 0,5}{0,8+1}} \approx 1,65\, \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

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