Aplicación de la segunda ley de Newton. Obtención de las ecuaciones del movimiento. Ejemplos

ENUNCIADO
Un objeto de $4\,\text{kg}$ está sometido a la acción de dos fuerzas: $\vec{F}_1=2\,\vec{i}-3\,\vec{j}$ y $\vec{F}_2=4\,\vec{i}-11\,\vec{j}$ (componentes expresadas en newtons). El objeto está en reposo en el origen del sistema de referencia en el instante $t=0\, \text{s}$. Se pide:
  a) ¿Cuál es la aceleración del objeto en el instante $t=0\,\text{s}$?
  b) ¿Cuál es su velocidad en el instante $t=3\,\text{s}$?
  c) ¿Dónde está el objeto en el instante $t=3\,\text{s}$?

Este ejercicio corresponde al ejercicio propuesto núm. 17, p 101 de la referencia [1]).

SOLUCIÓN
  a) La resultante de las fuerzas es $\vec{R}=\vec{F}_1+\vec{F}_2=(2\,\vec{i}-3\,\vec{j})+(4\,\vec{i}-11\,\vec{j})=6\,\vec{i}-14\,\vec{j}$, con lo cual, por la segunda ley de Newton, $\vec{a(t)}=\dfrac{\vec{R}}{m}=\dfrac{6\,\vec{i}-14\,\vec{j}}{4}=\dfrac{3}{2}\,\vec{i}-\dfrac{7}{2}\,\vec{j}$ (componentes expresadas en $\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$). Nota: Observemos que, en este caso, el vector aceleración es constante (no depende de $t$).
  b) De $\vec{a(t)}:=\dfrac{d\vec{v(t)}}{dt}$ se tiene que $d\,\vec{v(t)}=\vec{a(t)}\,dt$, luego $\int\,d\,\vec{v(t)}=\int\,\vec{a}\,dt$ y por tanto $\int_{0}^{3}\,d\,\vec{v(t)}=\int_{0}^{3}\,\vec{a}\,dt$; esto es, $\displaystyle \vec{v(3)}-\vec{v(0)}\overset{\text{enunciado}}{=}\vec{v(3)}-\vec{0}=\vec{v(3)}=\int_{0}^{3}\,\left(\dfrac{3}{2}\,\vec{i}-\dfrac{7}{2}\,\vec{j}\right)\,dt=\displaystyle \left[ \left(\dfrac{3}{2}\,\vec{i}-\dfrac{7}{2}\,\vec{j}\right)\,t \right]_{0}^{3}=\dfrac{9}{2}\,\vec{i}-\dfrac{21}{2}\,\vec{j}$ (componentes expresadas en $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$). Nota: Dadas las condiciones iniciales del enunciado, para un valor genérico de $t$ se tiene que el vector velocidad para un instane de tiempo $t$ es $\vec{v(t)}=\dfrac{3}{2}\,t\,\vec{i}-\dfrac{7}{2}\,t\,\vec{j}$ (componentes expresadas en $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$).
  c) De $\vec{v(t)}:=\dfrac{d\vec{r(t)}}{dt}$ se tiene que $d\,\vec{r(t)}=\vec{v(t)}\,dt$, luego $\int\,d\,\vec{r(t)}=\int\,\vec{v(t)}\,dt$ y por tanto $\int_{0}^{3}\,d\,\vec{r(t)}=\vec{r(3)}-\vec{r(0)}=\int_{0}^{3}\,\vec{v(t)}\,dt$, y teniendo en cuenta que (enunciado) $\vec{r(0)=\vec{0}}$, $\displaystyle \vec{r(3)}-\vec{0}=\vec{r(3)}=\int_{0}^{3}\,\left(\dfrac{3}{2}\,t\,\vec{i}-\dfrac{7}{2}\,t\,\vec{j}\right)\,dt=\displaystyle \left[ \left(\dfrac{3}{4}\,t^2\,\vec{i}-\dfrac{7}{4}\,t^2\,\vec{j}\right)\,t \right]_{0}^{3}=\dfrac{27}{4}\,\vec{i}-\dfrac{63}{4}\,\vec{j}$ (componentes expresadas en $\text{m}$).

Nota: Por las condiciones iniciales expresadas en el enunciado se tiene que el vector de posición para un valor genérico de $t$, $\vec{r(t)}=\dfrac{3}{4}\,t^2\,\vec{i}-\dfrac{7}{4}\,t^2\,\vec{j}$ (componentes expresadas en $\text{m}$). $\diamond$

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Referencias:
[1] P.A. Tipler, Física para la ciencia y la tecnología (cuarta edición), Reverté, 2001.

Aplicación de la segunda ley de Newton. Ejemplos

ENUNCIADO
Para arrastrar un tronco de $75\,\text{kg}$ por el suelo con velocidad constante se tira de él horizontalmente con una fuerza de $250\,\text{N}$. Se pide:
  a) La fuerza resistente con el suelo
  b) ¿Qué fuerza debemos ejercer si se desea dar al tronco una aceleración de $2\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$?
Este ejercicio corresponde al ejercicio propuesto núm. 15, p 101 de la referencia [1]).

SOLUCIÓN
  a) Si la velocidad de desplazamiento es constante la suma de la fuerza impulsora y la de resistencia ha de ser nula (la primera actúa en el sentido del movimiento y la segunda en sentido opuesto), luego la fuerza de resistencia pedida es de $250\,\text{N}$.
  b) Denotemos por $F$ la fuerza impulsora y por $F_r$ la fuerza de resistencia —omitimos el signo de vector por tratarse de un problema unidimensional—. Por la segunda ley de Newton, podemos escribir $a=\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,f_i}{m}=\dfrac{F-F_r}{m}$; con los datos del problema, se tiene que $2=\dfrac{F-250}{75}$, de donde, despejando $F$, se llega a $F=400\,\text{N}$. $\diamond$

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Referencias:
[1] P.A. Tipler, Física para la ciencia y la tecnología (cuarta edición), Reverté, 2001.

Aplicación de la segunda ley de Newton. Ejemplos

ENUNCIADO
Un vehículo tractor arrastra un remolque con una fuerza constante $\vec{F}_1$ en la dirección y sentido del movimiento, produciendo un aumento de velocidad de $4\,\dfrac{\text{km}}{h}$ en un intervalo de $10\,\text{s}$. El mismo vehículo tractor arrastra ahora el mismo remolque con una fuerza $\vec{F}_2$ en la dirección y sentido del movimiento, dando ahora un aumento velocidad de $12\,\dfrac{\text{km}}{h}$ en un intervalo de $10\,\text{s}$. Despreciando el rozamiento con el suelo, determínese la razón entre $\vec{F}_2$ y $\vec{F}_1$ . Este ejercicio está basado en el ejercicio propuesto núm. 11, p 101 de la referencia [1]).

SOLUCIÓN
En el subsistema remolque, por la segunda ley de Newton podemos escribir que $\dfrac{F_1}{m}:=a_1\approx \dfrac{\Delta\,v_1}{\Delta\,t_1}$, donde $m$ es la masa del remolque; y, por otra parte, de la segunda situación: $\dfrac{F_2}{m}:=a_2\approx \dfrac{\Delta\,v_2}{\Delta\,t_2}$. Como $\Delta\,t_1=\Delta\,t_2=10\,\text{s}$, dividiendo miembro a miembro las dos igualdades anteriores se tiene que $\dfrac{F_2}{F_1}\overset{(1)}{=}\dfrac{12}{4}=3\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$.

Nota 1. Los factores de conversión a unidades del S.I. se cancelan al hacer el cociente.

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Referencias:
[1] P.A. Tipler, Física para la ciencia y la tecnología (cuarta edición), Reverté, 2001.

Aplicación de la segunda ley de Newton. Ejemplos

ENUNCIADO
Una fuerza $\vec{F}=4\,\vec{i}-4\,\vec{j}$ (las componentes vienen expresadas en newtons) actúa sobre un cuerpo de masa $4\,\text{kg}$. Determínese el módulo del vector aceleración del cuerpo. Este ejercicio está basado en el ejercicio propuesto núm. 13, p 101 de la referencia [1]).

SOLUCIÓN
El módulo de la aceleración es igual al cociente entre el módulo de la fuerza y la masa del cuerpo (segunda ley de Newton). Entonces, $|\vec{F}|=\sqrt{4^2+(-4)^2}=4\,\sqrt{2}\,\text{N}$, y por tanto, $|\vec{a}|=\dfrac{4\,\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}\,\dfrac{\text{m}}{s^2}$. $\diamond$

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Referencias:
[1] P.A. Tipler, Física para la ciencia y la tecnología (cuarta edición), Reverté, 2001.