ENUNCIADO
Un objeto de 4\,\text{kg} está sometido a la acción de dos fuerzas: \vec{F}_1=2\,\vec{i}-3\,\vec{j} y \vec{F}_2=4\,\vec{i}-11\,\vec{j} (componentes expresadas en newtons). El objeto está en reposo en el origen del sistema de referencia en el instante t=0\, \text{s}. Se pide:
a) ¿Cuál es la aceleración del objeto en el instante t=0\,\text{s}?
b) ¿Cuál es su velocidad en el instante t=3\,\text{s}?
c) ¿Dónde está el objeto en el instante t=3\,\text{s}?
Este ejercicio corresponde al ejercicio propuesto núm. 17, p 101 de la referencia [1]).
SOLUCIÓN
a) La resultante de las fuerzas es \vec{R}=\vec{F}_1+\vec{F}_2=(2\,\vec{i}-3\,\vec{j})+(4\,\vec{i}-11\,\vec{j})=6\,\vec{i}-14\,\vec{j}, con lo cual, por la segunda ley de Newton, \vec{a(t)}=\dfrac{\vec{R}}{m}=\dfrac{6\,\vec{i}-14\,\vec{j}}{4}=\dfrac{3}{2}\,\vec{i}-\dfrac{7}{2}\,\vec{j} (componentes expresadas en \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}). Nota: Observemos que, en este caso, el vector aceleración es constante (no depende de t).
b) De \vec{a(t)}:=\dfrac{d\vec{v(t)}}{dt} se tiene que d\,\vec{v(t)}=\vec{a(t)}\,dt, luego \int\,d\,\vec{v(t)}=\int\,\vec{a}\,dt y por tanto \int_{0}^{3}\,d\,\vec{v(t)}=\int_{0}^{3}\,\vec{a}\,dt; esto es, \displaystyle \vec{v(3)}-\vec{v(0)}\overset{\text{enunciado}}{=}\vec{v(3)}-\vec{0}=\vec{v(3)}=\int_{0}^{3}\,\left(\dfrac{3}{2}\,\vec{i}-\dfrac{7}{2}\,\vec{j}\right)\,dt=\displaystyle \left[ \left(\dfrac{3}{2}\,\vec{i}-\dfrac{7}{2}\,\vec{j}\right)\,t \right]_{0}^{3}=\dfrac{9}{2}\,\vec{i}-\dfrac{21}{2}\,\vec{j} (componentes expresadas en \dfrac{\text{m}}{\text{s}}). Nota: Dadas las condiciones iniciales del enunciado, para un valor genérico de t se tiene que el vector velocidad para un instane de tiempo t es \vec{v(t)}=\dfrac{3}{2}\,t\,\vec{i}-\dfrac{7}{2}\,t\,\vec{j} (componentes expresadas en \dfrac{\text{m}}{\text{s}}).
c) De \vec{v(t)}:=\dfrac{d\vec{r(t)}}{dt} se tiene que d\,\vec{r(t)}=\vec{v(t)}\,dt, luego \int\,d\,\vec{r(t)}=\int\,\vec{v(t)}\,dt y por tanto \int_{0}^{3}\,d\,\vec{r(t)}=\vec{r(3)}-\vec{r(0)}=\int_{0}^{3}\,\vec{v(t)}\,dt, y teniendo en cuenta que (enunciado) \vec{r(0)=\vec{0}}, \displaystyle \vec{r(3)}-\vec{0}=\vec{r(3)}=\int_{0}^{3}\,\left(\dfrac{3}{2}\,t\,\vec{i}-\dfrac{7}{2}\,t\,\vec{j}\right)\,dt=\displaystyle \left[ \left(\dfrac{3}{4}\,t^2\,\vec{i}-\dfrac{7}{4}\,t^2\,\vec{j}\right)\,t \right]_{0}^{3}=\dfrac{27}{4}\,\vec{i}-\dfrac{63}{4}\,\vec{j} (componentes expresadas en \text{m}).
Nota: Por las condiciones iniciales expresadas en el enunciado se tiene que el vector de posición para un valor genérico de t, \vec{r(t)}=\dfrac{3}{4}\,t^2\,\vec{i}-\dfrac{7}{4}\,t^2\,\vec{j} (componentes expresadas en \text{m}).
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Referencias:
[1] P.A. Tipler, Física para la ciencia y la tecnología (cuarta edición), Reverté, 2001.
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