Un problemas sobre el triángulo de fuerzas en las reuniones de escalada

ENUNCIADO

La figura esquematiza el triángulo de fuerzas de una reunión de escalada. Se pide:
  a) ¿Qué podemos decir de $T_1$ y $T_2$ si $\theta_1 \neq \theta_2$?
  b) ¿Qué hay que hacer (al montarla) para que las tensiones $\vec{T}_1$ y $\vec{T}_2$ sean iguales?
  c) En las condiciones del apartado (b), ¿qué valor tiene que tener el ángulo que forman los dos lados iguales de la baga de reunión, $\alpha$, para que el módulo de las tensiones sea igual a la mitad de $P$?
  d) En las condiciones del apartado (b), ¿qué valor tienen los módulos de las tensiones $T_1=T_2\overset{.}{=}T$ (triángulo isósceles) si el ángulo que forman los dos lados iguales de la baga de reunión $\alpha=60^\circ$?

SOLUCIÓN
  a) En tal caso, el triángulo que se forma en la reunión es un triángulo escaleno (no isósceles), y por tanto $\vec{T}_1 \neq \vec{T}_2$; en cuanto a los módulos de estas tensiones, podemos decir que si $\theta_2 \gt \theta_1$ entonces $T_2 \gt T_1$. Nota: Para que la reunión funcione así, ésta deberá estar bloqueada en el vértice inferior (con un nudo de alondra al colocar el mosquetón madre o bien con cualquier otro nudo adecuado para tal finalidad); si no estuviese bloqueada, la reunión se equilibraría automáticamente al aplicar la carga y por tanto adoptaría una configuración simétrica (de triángulo isósceles), que es el caso del siguiente apartado.
  b) Si $\vec{T}_1=\vec{T}_2$, entonces $\theta_1=\theta_2$; esto es, la disposición del triángulo de fuerzas deberá corresponder a la de un triángulo isósceles.
  c) Esta situación es la que minimiza el módulo de la tensión $T$; en efecto, como $2\,T\,\cos\,\dfrac{\alpha}{2}=P$, y por tanto $T=\dfrac{P}{2\,\cos\,(\alpha/2)}$, resulta que $T$ es mínima cuando $\cos\,(\alpha/2)$ es máximo, esto es, si $\alpha/2=0^\circ$, y por tanto, si $\alpha=0^\circ$. Así, $T_1=T_2=\dfrac{P}{2}$.
  d) Consideremos, otra vez, las condiciones pedidas en el apartado (b), y denotemos por $\alpha$ el ángulo que forman los dos lados iguales del triángulo isósceles. Entonces, $\dfrac{\alpha}{2}=\theta_1=\theta_2$. Imponiendo la condición de equilibrio: $2\,T\,\cos\,\dfrac{\alpha}{2}=P$, y como se impone que $\alpha=60^\circ$, y por tanto, que $\alpha/2=30^\circ$, tendremos que $2\,T\,\cos\,30^\circ=P$, con lo cual $T=\dfrac{P}{2\,\cos\,30^\circ}$, esto es $T=\dfrac{P}{\sqrt{3}}\lt P$ ya que $1\lt \sqrt{3}\lt 2$; así, por ejemplo, una carga de $P=1000\,\text{N}$ —si pensamos en una carga estática, correspondería aproximadamente, por ejemplo, a colgar una masa de $100\,\text{kg}$ de la reunión— daría lugar a una tensión $T_1=T_2=\dfrac{1000}{\sqrt{3}}\approx 577\,\text{N}$. $\diamond$

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Referencias:
[1] J. Aranés Clua, El triángulo de fuerzas en escalada [https://blogdef1s1ca.blogspot.com/2022/07/el-triangulo-de-fuerzas-en-las_5.html].