Una presa de sección rectangular, cuyo anchura es $\ell$, retiene el agua de un embalse, con una profundidad uniforme $a$. Teniendo en cuenta que la superficie interior de la presa (la que está en contacto con el agua) es plana, ¿cómo se distribuyen las fuerzas debidas a la presión del agua en función de la profundidad?.
Denotemos por $x$ la profundidad (tomando como origen de profundidades la superficie del agua). La presión hidrostática del agua a una profundidad $x$ es $p(x)=d\,g\,x$, donde $d$ designa la densidad del agua y $g$ la intensidad del campo gravitatorio.
Por el principio de Pascal, y tomando un elemento rectangular diferencial de área en la pared de la presa, $dA(x)=\ell\,dx$, podemos escribir el elemento diferencial de fuerza que actúa sobre él como $dF(x)=p(x)\,dA(x)=p(x)\,\ell\,dx$, luego la fuerza del agua $F(x)$ sobre la pared a una profundida $x$ es $$F(x)=\int\,p(x)\ell\,dx=\int\,\ell\,d\,g\,x\,dx=\ell\,d\,g\,\int\,x\,dx=\dfrac{\ell\,d\,g}{2}\,x^2+C$$ y como para $x=0$, $F(x)=0$, luego $C=0$.
Así pues, la distribución de la fuerza que actúa sobre la presa a lo largo de la profundidad es $F(x)=\dfrac{\ell\,d\,g}{2}\,x^2 \quad (1)$, que corresponde a una función cuadrática (parábola).
La fuerza que actúa sobre la presa, debida a la presión de la columna de agua sobre el fondo, es $$F(a)=\dfrac{\ell\,d\,g}{2}\,a^2$$
Nota: Otra forma de llegar al mismo resultado consiste en plantear la integral indefinida $$\displaystyle \int_{0}^{a}\,\ell\,d\,g\,x\,dx=\left[\dfrac{\ell\,d\,g}{2}\,x^2 \right]_{0}^{a}=\dfrac{\ell\,d\,g}{2}\,a^2$$
De (1) se concluye que el grosor de la pared de la presa tiene que ser mayor cuanto mayor sea la profundidad, y, en buena lógica, la forma de la superficie exterior de la pared de la misma (la que no está en contacto con el agua) debe ser la de dicha parábola. $\diamond$
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