Un trozo de cadena deslizándose por el borde de una mesa ...

ENUNCIADO
Sobre una mesa reposa un trozo de cuerda ( de densidad lineal, $\delta$, homogénea ), de longitud $l$. Una parte de dicha cuerda cuelga por el borde de la mesa, formando la cuerda un ángulo recto con la arista/borde. El coeficiente de rozamiento de la mesa con la cuerda es $\mu$. Calcúlese la velocidad, $v$, de un punto de la cuerda cuando, en su caída, el extremo que reposaba sobre la mesa pasa por el borde.

SOLUCIÓN
Supondremos que la cuerda empieza a caer con velocidad inicial nula ( equilibrio ) y, por tanto, esto se produce para una cierta longitud del tramo que cuelga, que denominaremos $x_0$. Teniendo en cuenta el principio de conservación de la energía mecánica, y despreciando la pérdida por disipación de calor debida al roce de la cuerda con la mesa, el cambio de energía cinética, $\Delta\,K$, debe ser igual al trabajo realizado, $\Delta\,W$, por la fuerza activa que actúa sobre la cuerda y que da lugar al movimiento de la misma - desde que empieza el movimiento hasta la situación pedida en el enunciado - ( Teorema de las fuerzas vivas ), esto es, $$\Delta\,K=\Delta\,W$$ por tanto $$\dfrac{1}{2}\,m\,v^2-\dfrac{1}{2}\,m\cdot 0^2=\displaystyle \int_{x_0}^{l}\,F(x)\,dx$$ y como la masa, $m$, de la cuerda es $m=\delta\,l$, podemos escribir $$ \dfrac{1}{2}\,\delta\,l\,v^2=\displaystyle \int_{x_0}^{l}\,F(x)\,dx \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (1)$$
siendo $x$ la longitud de cuerda que cuelga por el borde en cada instante de tiempo

Calculemos el valor de $x_0$ imponiendo la condición de equilibrio: $$g\,(l-x_0)\,\delta\,\mu = x_0\,\delta\,g$$
y de aquí encontramos $$x_0=\dfrac{\mu}{\mu+1}\,l$$

Por otra parte, la función que describe la fuerza global que actúa sobre la cuerda para cada valor de $x$ es $$F(x)=\delta\,g\,x- \delta\,g\,\mu\,(l-x)$$ esto es $$F(x)=\delta\,g\,\left((\mu+1)\,x-\mu\,l\right)$$ Así, el segundo miembro de (1) es igual a $$\displaystyle \delta\,g\,\,\int_{\frac{\mu}{\mu+1}\,l}^{l}\,\left((\mu+1)\,x-\mu\,l\right)\,dx $$ y por, el Primer y el Segundo Teoremas Fundamentales del Cálculo, obtenemos como resultado de dicha integral definida $$\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\delta\,g\,l^2}{\mu+1}$$ por lo que la igualdad (1) nos queda $$\dfrac{1}{2}\,\delta\,l\,v^2=\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\delta\,g\,l^2}{\mu+1}$$ así que, despejando $v$, llegamos a $$v=\sqrt{\dfrac{g\,l}{\mu+1} }$$

Así, por ejemplo, si $\mu =0,8$ y $l=0,5\, \text{m}$, la longitud del trozo de cuerda que cuelga cuando empieza el movimiento ( posición de equilibrio ) es de $x_0=\dfrac{0,8}{0,8+1}\cdot 0,5 \approx 0,22 \, \text{m}$, y la velocidad de un punto de la cuerda cuando el extremo izquierdo de la misma abandona la mesa es igual a $\sqrt{\dfrac{9,81 \cdot 0,5}{0,8+1}} \approx 1,65\, \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

$\square$