Utilizando el teorema de las fuerzas vivas

ENUNCIADO
El vector de posición en cada instante de tiempo de un cuerpo ( que consideramos puntual ) en movimiento en el espacio, cuaya masa es igual a la unidad, viene dado por $$\vec{r}(t)=t^4\,\vec{i}-t^3\,\vec{j}+t^2\,\vec{k}$$ ( las unidades corresponden a las del Sistema Internacional ). ¿ Cuál es el trabajo realizado por la fuerza que actúa sobre dicho cuerpo entre $t_1=2 \, \text{s}$ y $t_2=3 \, \text{s}$ ?.

SOLUCIÓN
Por el Teorema de las fuerzas vivas, el incremento de energía cinética entre dos instantes de tiempo debe ser igual al trabajo realizado por las fuerzas del sistema actuando sobre dicho cuerpo entre estos dos instantes, esto es $$\Delta\,K = \Delta\,W \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (1)$$ donde el segundo miembro de la igualdad es $$\Delta\,K = \dfrac{1}{2}\,m\,v_{2}^2-\dfrac{1}{2}\,m\,v_{1}^2 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2) $$ siendo $v_{1} \equiv \left\|\vec{v}(2)\right\|$ y $v_{2} \equiv \left\|\vec{v}(2)\right\|$, con lo cual, $v_{1}^2 = \left(\left\|\vec{v}(2)\right\|\right)^2$ y $v_{2}^2 = \left(\left\|\vec{v}(3)\right\|\right)^2$

Para hallar estas dos cantidades, debemos calcular, primero, la función vectorial velocidad instantánea, así que debemos derivar la función vectorial de posición instantánea: $$\vec{v}(t) \equiv \dfrac{d\vec{r}(t)}{dt}=4\,t^3\,\vec{i}-3\,t^2\,\vec{j}+2\,t\,\vec{k}$$ y, particularizando en los dos instantes dados, obtenemos $$\vec{v}(3) =4\cdot 3^3\,\vec{i}-3\cdot 3^2\,\vec{j}+2\cdot 3\,\vec{k}=108\,\vec{i}-27\,\vec{j}+6\,\vec{k}$$ y $$\vec{v}(2) =4\cdot 2^3\,\vec{i}-3\cdot 2^2\,\vec{j}+2\cdot 2\,\vec{k}=32\,\vec{i}-12\,\vec{j}+4\,\vec{k}$$ Calculándo, ahora, el cuadrado de los módulos de sendos vectores: $$v_{2}^2 \equiv \left(\left\|\vec{v}(3)\right\|\right)^2=108^2+(-27)^2+6^2=12429$$ y $$v_{1}^2 \equiv \left(\left\|\vec{v}(2)\right\|\right)^2=32^2+(-12)^2+4^2=1184$$ Así, pues, de (1), y teniendo en cuenta (2), el valor del trabajo pedido es $$\Delta\,W=\dfrac{1}{2}\cdot 1 \,(12429-1184)=5625,5\,\text{J}$$
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