En actuar sobre un medi elàstic i continu mitjançant una pertorbació externa hom cedeix a aquest una certa energia la qual es propagarà a través de les partícules materials que el constitueixen. Considerem, doncs, un medi continu i elàstic a través del qual es transmet una pertorbació periòdica que anomenarem ona harmònica, la forma matemàtica de la qual determinarem.
És convenient, per començar, distingir entre dos tipus de pertorbacions: els polsos, i les ones pròpiament dites. Els polsos, quant a la forma d'aportar energia al medi (de causar la pertorbació), són impulsos limitats en el temps, mentre que les ones es poden entendre com el resultat de reiterar l'impuls de forma continuada en el temps. Pensem, per exemple, en una corda de longitud indefinida estirada al terra; en agafar un extrem de la corda i fer-la moure en la direcció vertical, donant-li un impuls (de forma sobtada), s'obté un pols que es propaga al llarg de la corda; si mantenim el moviment oscil·latori de la mà amb què transmetem l'energia a la corda es produeix el que entendrem per ona harmònica.
Situant l'origen de coordenades d'un sistema d'eixos cartesians en un punt convenient, estudiarem l'estat de vibració de les partícules P del medi lineal unidimensional (que s'estén al llarg de l'eix Ox) en la direcció transversal a la de propagació (la de l'eix Oy) de la pertorbació a través d'aquest (moviment harmònic simple [que abreviarem MHS]).
Si entenem que la direcció de propagació és la de l'eix Ox, el moviment oscil·latori dels punts P es produeix, per tant, en la direcció Oy. Dit això, podem escriure que l'elongació de la partícula P, situada a la distància x de l'origen (focus) de la pertorbació de la forma
y(t1,xP)=A sin( w t1)
on A representa l'elongació màxima o amplitud; w, la freqüència angular del MHS que descriu la partícula; i t1, el temps propi del MHS de P (amb què mesurem les elongacions que en la direcció vertical va prenent la partícula P).
El sistema de referència el situem en la posició del focus i al seu temps propi l'anomenarem t. Recordem que el nostre objectiu consisteix a estudiar el moviment de P (situat a una distància x de O) en funció del temps t del sistema de referència i en la direcció Oy; és a dir, pretenem trobar una expressió y(t,x), amb la qual cosa, de fet, si ho apliquem no solament a un punt, sino a tots els punts {P} haurem donat l'equació del moviment MHS de tots i cada un dels punts del medi continu unidimensional (situats damunt de l'eix Ox): l'equació de l'ona harmònica.
Cal tenir en compte que la pertorbació tarda un temps t2 en arribar a la posició de P des del focus (al llarg de l'eix Ox), per tant podem escriure el temps t1 de la forma t - t2
és a dir
y(t,x) = A sin( w (t - t2) [1]
Com que la pertorbació viatja en la direcció de l'eix Ox (direcció de propagació) a una certa velocitat v (velocitat de propagació) és evident que
t2 = x/v, on x representa la coordenada de posició del punt considerat, per tant podem escriure [1] de la forma:
y(t,x) = A sin(w(t-x/v))
o de forma equivalent
y(t,x) = A sin(wt - (w/v)x).
Interpretem la quantitat w/v com el nombre d'ones completes compreses en un segment de l'eix Ox d'una determinada longitud i designem aquesta quantitat (nombre d'ona) amb la lletra k.
És per això que, sovint, escriurem l'equació d'ones de la forma
y(t,x) = A sin( wt - kx) on el terme kx es pot entendre com el desfasament (diferència de fase) de la vibració en el punt situat a distància x respecte del punt situat l'origen (x=0).
Tot el que hem dit es pot estendre a medis de més d'una dimensió. Pensem, per exemple, les ones que es produeixen en la superfície d'un estany (ones en un medi bidimensional), o les ones de so en propagar-se per l'espai tridimensional. $\diamond$
No hay comentarios:
Publicar un comentario