Un ejemplo de conservación del momento angular en ausencia de fuerzas externas

Consideremos dos enengranaje macizos en un mismo eje, los cuales pueden embragarse lateralmente. El engranaje A tiene 20 cm de radio y una masa de 2 kg, y gira libremente a una velocidad de 2000 vueltas por minuto. Supondremos que no hay rozamiento entre el eje y el ajuste de la rueda en él. En el mismo eje tenemos un engranaje B, que no gira (la holgura de su orificio central con el eje es suficiente para que ello sea posible), cuyo radio es de 10 cm y una tien una masa de 1 kg; y, al igual que con A, tampoco hay rozamiento entre el eje y el engranaje B. Así las cosas, embragamos B con A por la cara lateral común, de manera que ahora ambos engranajes giran como un solo cuerpo, a una nueva velocidad. En estas condiciones, estamos interesados en calcular la velocidad angular de los dos engranajes al girar solidariamente.

Antes de embragar lateralmente la segunda rueda a la primera, el momento angular del sistema es $L_i=I_A\,w_{i_{A}}+I_B\,w_{i_{B}}$. Y, como $w_{i_{B}}=0$, se tiene que el momento angular inicial del conjunto es $L_i=I_A\,w_{i_{A}}+0=I_A\,w_{i_{A}}$

Después de embragar lateralmente la segunda rueda a la primera, y suponiendo que el radio del eje es mucho menor que el de los engranajes, el momento angular del sistema es $L_f=I_A\,w_{f_{A}}+I_B\,w_{f_{B}}$. Y, como los dos engranajes giran ahora a la misma velocidad $w_{f_{A}}=w_{f_{B}}=:w_f$, el momento angular final del conjunto es $L_f=I_A\,w_f+I_B\,w_f=(I_A+I_B)\,w_f$

Al no actuar ninguna fuerza externa, el momento angular ha de conservarse, $L_i=L_f$, y por tanto, $I_A\,w_{i_{A}}=(I_A+I_B)\,w_f$, de donde, despejando $w_f$, llegamos a $w_f=\dfrac{I_A}{I_A+I_B}\,w_{i_{A}} \quad (1)$. Recordemos que el momento de inercia respecto al eje de giro de un cilindro macizo de radio $r$ es igual a $\dfrac{1}{2}\,m\,r^2$, por lo que, al asemejar las ruedas dentadas macizas a cilindros macizos (salvando los huecos de los dientes), con lo cual $I_A=\dfrac{1}{2}\,m_A\,r_{A}^{2}$ y $I_B=\dfrac{1}{2}\,m_B\,r_{B}^{2}$. Por consiguiente, de (1), $w_f=\dfrac{\frac{1}{2}\,m_A\,r_{A}^2}{\frac{1}{2}\,m_A\,r_{A}^2+\frac{1}{2}\,m_B\,r_{B}^2}\,w_{i_{A}}=\dfrac{m_A\,r_{A}^2}{m_A\,r_{A}^2+m_B\,r_{B}^2}\,w_{i_{A}}$, y con los datos numéricos del problema, $$w_f=\dfrac{2\cdot (20\cdot 10^{-2})^2}{ 2\cdot (20\cdot 10^{-2})^2+ 1\cdot (10\cdot 10^{-2})^2}\cdot 2\,000 \approx 1\,778\,\dfrac{\text{vueltas}}{\text{min}}$$ $\diamond$

Dinámica de rotación de un cilindro hueco, de grosor despreciable, que rueda sin deslizar por un plano inclinado

Un cilindro hueco, cuya pared es de grosor despreciable, y que tiene masa $m$ y radio $R$, se sitúa sobre una rampa que forma un ángulo $\theta$ con el plano horizontal y empieza a rodar sin deslizar pendiente abajo. Se quiere calcular la aceleración del centro de masas del cilindro.

Denotemos por $a$ a la aceleración del centro de masas, el cual corresponde al centro del aro. Si rueda sin deslizar debe haber una fuerza de rozamiento, $f_r$, que lo permita; entonces por la segunda ley de Newton podemos escribir $$m\,a = m\,g\,\sin(\theta) - f_r \quad (1)$$ Por otra parte, el momento de dicha fuerza de rozamiento que explica el giro viene dado por $f_r\,R = I_e\,\alpha \quad (2)$, donde $I_e$ representa el momento de inercia con respecto al eje de giro (que es perpendicular al plano que contiene al aro y pasa por el centro de éste), y por tanto, tratándose de una circunferencia, $I_e=m\,R^2$; además, $\alpha=\dfrac{a}{R}$, es la aceleración angular de rotación del aro. En consecuencia, (2) puede reescribirse de la siguiente manera: $$f_r\,R = m\,R^2 \cdot \dfrac{a}{R}$$ y por tanto, $$f_r = m\,a \quad (3)$$ Finalmente, sustituyendo (3) en (1), $$m\,a = m\,g\,\sin(\theta) - m\,a$$ Y, agrupando términos y simplificando,
  $m\,a + m\,a= m\,g\,\sin(\theta) $
    $2\,a= g\,\sin(\theta) $
      $a= \dfrac{1}{2}\,g\,\sin(\theta) $

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Dinámica de rotación de un cilindro macizo que rueda sin deslizar por un plano inclinado

Un cilindro macizo, de masa $m$ y de radio $R$, se sitúa sobre una rampa que forma un ángulo $\theta$ con el plano horizontal, y empieza a rodar sin deslizar pendiente abajo. Se quiere calcular la aceleración del centro de masas del cilindro.

Denotemos por $a$ a la aceleración del centro de masas. Si rueda sin deslizar debe haber una fuerza de rozamiento, $f_r$, que lo permita; entonces por la segunda ley de Newton podemos escribir $$m\,a = m\,g\,\sin(\theta) - f_r \quad (1)$$ Por otra parte, el momento de dicha fuerza de rozamiento que explica el giro viene dado por $f_r\,R = I_e\,\alpha \quad (2)$, donde $I_e$ representa el momento de inercia con respecto al eje de giro y que corresponde al eje longitudinal del cilindro, y por tanto $I_e=\dfrac{1}{2}\,m\,R^2$, y $\alpha=\dfrac{a}{R}$ es la aceleración angular de rotación del cilindro. En consecuencia, (2) puede reescribirse de la siguiente manera: $$f_r\,R = \dfrac{1}{2}\,m\,R^2 \cdot \dfrac{a}{R}$$ y por tanto, $$f_r = \dfrac{1}{2}\,m\,a \quad (3)$$ Finalmente, sustituyendo (3) en (1), $$m\,a = m\,g\,\sin(\theta) - \dfrac{1}{2}\,m\,a$$ Y, agrupando términos y simplificando,
  $m\,a + \dfrac{1}{2}\,m\,a= m\,g\,\sin(\theta) $
    $a + \dfrac{1}{2}\,a= g\,\sin(\theta) $
      $a\,( 1+ \dfrac{1}{2})= g\,\sin(\theta) $
        $\dfrac{3}{2}\,a= g\,\sin(\theta) $
          $a= \dfrac{2}{3}\,g\,\sin(\theta) $

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Dos esferas de la misma masa y radio, una hueca y la otra maciza ... ¿Cómo distinguirlas?

Imaginemos dos esferas del mismo radio y con la misma masa, indistinguibles a simple vista. Una de ellas es maciza y la otra es hueca, de corteza muy poco gruesa (el radio interior se supone que es mucho menor que el exterior, $r$). ¿Cómo podríamos distinguir una de otra?

Si las hacemos girar, aplicándoles el mismo momento de fuerza, $M$, se tiene que $M=I_{h}\,\alpha_{h}=I_{m}\,\alpha_{m} \quad (1)$, donde el subíndice $h$ indica la esfera hueca, $m$ la maciza, siendo $I_h$ el momento de inercia de la esfera hueca y $I_m$ el momento de la esfera maciza (con respecto del eje de giro), y $\alpha_h$ y $\alpha_m$ las aceleraciones angulares respectivas.

Entonces, de $(1)$ se tiene que $\dfrac{\alpha_m}{\alpha_h}=\dfrac{I_h}{I_m} \quad (2)$. Ahora bien, $I_h\approx \dfrac{2}{3}\,m\,r^2$, habida cuenta de que el grosor de la corteza esférica es despreciable) y $I_m=\dfrac{2}{5}\,m\,r^2$, por lo tanto, puede escribirse $(2)$ de la forma $\dfrac{\alpha_m}{\alpha_h}\approx \dfrac{\frac{2}{3}\,m\,r^2}{\dfrac{2}{5}\,m\,r^2}=\dfrac{5}{3} \gt 1 \therefore \alpha_m \gt \alpha_h$: la aceleración de la esfera maciza ha de ser mayor que la de la esfera hueca. $\diamond$

Análisis de la dinámica de un Yo-yo

Un cilindro de radio $r$ tiene enrrollado un hilo resistente, a modo de Yo-yo. El extremo de dicho hilo se ancla al techo, y el cilindro (Yo-yo) queda de esta manera suspendido. La masa del cilindro es $m$ y la masa del hilo se considera despreciable. Voy a calcular la tensión del hilo $T$ y la aceleración $a$ con la que el cilindro desciende hacia el suelo.

Partiremos de la segunda ley de Newton (la suma de fuerzas ha de ser igual a la masa por la aceleración del descenso); y, al haber también movimiento de giro, también de la ecuación de los momentos (la suma de momentos con respecto al eje de rotación del Yo-yo ha de ser igual al momento de inercia del mismo $I$ multiplicado por la aceleración angular $\alpha$). Es decir:

• $T\,r=I\,\alpha \quad (1)$
• $P-T=m\,a \quad (2)$

Teniendo en cuenta que, tratándose de un cilindro, su momento de intercia es $I=\dfrac{1}{2}\,m\,r^2$, podemos escribir $(1)$ de la forma $T\,r=\dfrac{1}{2}\,m\,r^2\,\alpha$, que simplificado queda, $T=\dfrac{m\,r\,\alpha}{2} \quad (1')$

Como, además, $a=m\,\alpha$, y $P=m\,g$ (siendo $g$ la intensidad del campo gravitatorio), la ecuación $(2)$ puede escribirse de la forma $m\,g-\dfrac{m\,r\,\alpha}{2}=m\,r\,\alpha$, que, al simplificar, nos lleva a $\alpha\,r=\dfrac{2}{3}\,g \quad (2')$, esto es, $a=\dfrac{2}{3}\,g$. Y al sustituir $(2')$ en $(1')$, se llega a $T=\dfrac{m\,g}{3}=\dfrac{1}{3}\,P$

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