Dinámica de rotación de un cilindro macizo que rueda sin deslizar por un plano inclinado

Un cilindro macizo, de masa $m$ y de radio $R$, se sitúa sobre una rampa que forma un ángulo $\theta$ con el plano horizontal, y empieza a rodar sin deslizar pendiente abajo. Se quiere calcular la aceleración del centro de masas del cilindro.

Denotemos por $a$ a la aceleración del centro de masas. Si rueda sin deslizar debe haber una fuerza de rozamiento, $f_r$, que lo permita; entonces por la segunda ley de Newton podemos escribir $$m\,a = m\,g\,\sin(\theta) - f_r \quad (1)$$ Por otra parte, el momento de dicha fuerza de rozamiento que explica el giro viene dado por $f_r\,R = I_e\,\alpha \quad (2)$, donde $I_e$ representa el momento de inercia con respecto al eje de giro y que corresponde al eje longitudinal del cilindro, y por tanto $I_e=\dfrac{1}{2}\,m\,R^2$, y $\alpha=\dfrac{a}{R}$ es la aceleración angular de rotación del cilindro. En consecuencia, (2) puede reescribirse de la siguiente manera: $$f_r\,R = \dfrac{1}{2}\,m\,R^2 \cdot \dfrac{a}{R}$$ y por tanto, $$f_r = \dfrac{1}{2}\,m\,a \quad (3)$$ Finalmente, sustituyendo (3) en (1), $$m\,a = m\,g\,\sin(\theta) - \dfrac{1}{2}\,m\,a$$ Y, agrupando términos y simplificando,
  $m\,a + \dfrac{1}{2}\,m\,a= m\,g\,\sin(\theta) $
    $a + \dfrac{1}{2}\,a= g\,\sin(\theta) $
      $a\,( 1+ \dfrac{1}{2})= g\,\sin(\theta) $
        $\dfrac{3}{2}\,a= g\,\sin(\theta) $
          $a= \dfrac{2}{3}\,g\,\sin(\theta) $

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