Un ejemplo de aplicación de la conservación del momento lineal en ausencia de fuerzas externas al sistema

Un tripulante, de masa $m$, se encuentra inicialmente en la popa de una embarcación, que tiene una masa $M$ y está en resposo, flotando frente a la orilla. El tripulante, que se encontraba en popa, se pone a andar hacia la proa de la embarcación a velocidad constante, recorriendo una distancia $\Delta\,e$ de la eslora $e$. La barca está orientada perpendicularmente a la orilla de un lago, y su proa se encuentra a una distancia $\ell$ de dicha orilla. ¿A qué distancia estará la proa de la orilla cuando el tripulante haya raecorrido toda la eslora de la embarcación?

Si en un intervalo de tiempo $\Delta\,t$, el tripulante recorre sobre la embarcación una distancia $\Delta\,e$, la velocidad media del tripulante en dicho intervalo es $v_t=\dfrac{\Delta\,e}{\Delta\,t}$.

En la situación inicial, antes de que el tripulante empiece a andar, la cantidad de movimiento, $p_i$, del sistema embarcación-tripulante es es igual a $0$ puesto que no hay movimiento alguno, y al no actuar fuerzas externas sobre el sistema, dicha cantidad de movimiento ha de conservarse, por lo que en la situación final, al avanzar el tripulante hacia proa, la embarcación se alejará de la orilla a una velocidad $v_b=-\dfrac{\Delta\,\ell}{\Delta\,t}$.

Veamos pues a qué distancia de la orilla se encontrará la proa de la embarcación transcurrido ese intervalo de tiempo. Como la cantidad de movimiento en el instante final es $p_f=-\dfrac{\Delta\,\ell}{\Delta\,t}\cdot M + \dfrac{\Delta\,e}{\Delta\,t}\cdot m$ y ésta tiene que ser igual a la cantidad de movimiento en el instante inicial, que es $0$:

$$-\dfrac{\Delta\,\ell}{\Delta\,t}\cdot M + \dfrac{\Delta\,e}{\Delta\,t}\cdot m=0$$ luego $$-\Delta\,\ell\cdot M + \Delta\,e \cdot m=0$$ y por tanto, $$\Delta\,\ell = \Delta\,e \cdot \dfrac{m}{M}$$ En consecuencia, la distancia de la proa de la embarcación a la orilla, $\ell+\Delta\,\ell$, será ahora igual a $$\ell+ \Delta\,e \cdot \dfrac{m}{M}$$

Observacines: (1) Es claro que si $m \ll M$, entonces $\dfrac{m}{M} \rightarrow 0$, y por tanto la nueva distancia a la orilla no habrá cambiado; (2), si si $m \approx M$, entonces $\dfrac{m}{M} \approx 1$, y por tanto la nueva distancia a la orilla es en este caso igual a $\ell+\Delta\,e$ (la distancia inicial más la longitud recorrida por el tripulante hacia proa); (3), si la masa de la embarcación fuese muy pequeña, $M\ll m$, entonces $\dfrac{m}{M} \rightarrow \infty$ y por tanto, en este otro caso extremo, la nueva distancia a la orilla (tras haberse desplazado el tripulante hacia proa) sería infinita.

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Veamos un ejemplo con datos concretos para el caso de una embarcación ligera (comparada con la masa del tripulante): Supongamos que $\ell=3\,\text{m}$ (distancia inicial de la proa a la orilla); $\Delta\,e=1\,\text{m}$ (longitud recorrida por el tripulante sobre la embarcación, hacia la proa); $m=80\,\text{kg}$ (masa del tripulante) y $M=30\,\text{kg}$ (masa de la embarcación, que, en este caso es ligera). Con esos datos, la nueva distancia de la proa a la orilla será igual a

$$3+ 1 \cdot \dfrac{80}{40}=3+1\cdot 2=5\,\text{m}$$

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