Estudio del movimiento de un sistema de dos partículas. Masa reducida

Consideremos un sistema aislado -la resultante de las fuerzas externas es nula- formado por dos partículas, $P_1$ y $P_2$, de masas respectivas $m_1$ y $m_2$ que interaccionan mútuamente. Vamos a ver que el problema del movimiento de este sistema de dos partículas puede reducirse al problema del movimiento de una sóla partícula de masa reducidad $\mu$ que está sometida a una fuerza central.

Con respecto a un sistema de referencia inercial $\sum$, al que llamaremos sistema laboratorio, la posición de las dos partículas en todo instante $t$ viene dada por los vectores $\vec{r}_1$ y $\vec{r}_2$. El vector que desde $P_2$ apunta a $P_1$ viene dado por tanto por la relación $\vec{r}=\vec{r}_1 - \vec{r}_2 \quad (1)$

Entonces, las ecuaciones del movimiento del sistema de partículas vienen dadas (segunda ley de Newton) por $m_1\,\ddot{\vec{r}}_1=\vec{f}_{12} \quad (2)$ y $m_2\,\ddot{\vec{r}}_2=\vec{f}_{21}\quad (3)$, siendo $\vec{f}_{12}$ la fuerza que la partícula $P_2$ ejerce sobre $P_1$; y, $\vec{f}_{21}$ la fuerza que la partícula $P_1$ ejerce sobre $P_2$

Derivando (1) dos veces con respecto de $t$, se tiene que $\ddot{\vec{r}}=\ddot{\vec{r}_1} - \ddot{\vec{r}_2}$, y teniendo en cuenta (2) y (3), $\ddot{\vec{r}}_1=\dfrac{1}{m_1}\,\vec{f}_{12}$ y $\ddot{\vec{r}}_2=\dfrac{1}{m_2}\,\vec{f}_{12}$, y por tanto, $\ddot{\vec{r}}=\dfrac{1}{m_1}\,\vec{f}_{12}-\dfrac{1}{m_2}\,\vec{f}_{12} \quad (4)$; ahora bien, por la tercera ley de Newton, $\vec{f}_{12}=-\vec{f}_{21}$, con lo cual puede escribirse (4) de la forma, $$\ddot{\vec{r}}=\left(\dfrac{1}{m_1}-\dfrac{1}{m_2}\right)\,\vec{f}_{12}$$ es decir, $$\vec{f}_{12}=\left(\dfrac{1}{m_1}-\dfrac{1}{m_2}\right)^{-1}\,\ddot{\vec{r}}$$ esto es, $$\vec{f}_{12}=\left(\dfrac{m_1\,m_2}{m_1+m_2}\right)\,\ddot{\vec{r}}$$ Y entendiendo $\mu:=\left(\dfrac{m_1\,m_2}{m_1+m_2}\right) \quad (5)$ como la masa reducida del sistema, ésto suele escribirse de la forma $$\vec{f}_{12}=\mu\,\ddot{\vec{r}} \quad (6)$$

Observaciones:

1. En el caso de que $m_2 \gg m_1$, entonces de (5) se tiene que $\mu \approx m_1$ (la masa reducida es igual a la masa de la partícula más ligera), y por tanto (6) puede aproximarse como $$\vec{f}_{12}\approx \,m_1\,\ddot{\vec{r}}$$
2. En el caso de que $m_2 \sim m_1$, entonces de (5) se tiene que $\mu \approx \dfrac{1}{2}\,m_1$ (la masa reducida es igual a la masa de la partícula más ligera), y por tanto (6) puede aproximarse como $$\vec{f}_{12}\approx \,\dfrac{1}{2}\,m_1\,\ddot{\vec{r}}$$

Ejemplo:
El estudio del movimiento del sistema Tierra-Luna, entendiéndolo como un sistema aislado, puede reducirse al estudio del problema de una sóla partícula $P$, de masa reducida $\mu=\dfrac{m_T\,m_L}{m_T+m_L}$, sobre la que actúa una fuerza que representa la atracción de La Tierra sobre la Luna, $\vec{f}_{LT}$: $$\vec{f}_{LT}=\left(\dfrac{m_T\,m_L}{m_T+m_L}\right)\,(\ddot{\vec{r}_T}-\ddot{\vec{r}_L})$$ Siendo $m_T \approx 6\times 10^{24}\,\text{kg}$ y $m_L \approx 7\times 10^{22}\,\text{kg}$, se tiene que $\mu \sim 10^{22}\,\text{kg}$, esto es $\mu \approx m_L$, y por tanto, $$\vec{f}_{LT}\approx m_L\,(\ddot{\vec{r}_T}-\ddot{\vec{r}_L})$$ $\diamond$