El péndulo balístico: ¿Cómo medir la velocidad de un proyectil?

Un bloque de madera blanda está colgado del techo mediante un hilo inextensible. Se dispara un proyectil de masa $m$ a una cierta velocidad (a determinar) el cual al impactar contra el bloque (choque totalmente inelástico) se queda incrustado en él, despreciando la energía necesaria para producir la deformación en el bloque así como el calor disipado. A partir de ese instante, el conjunto proyectil+bloque se eleva según una trayectoria pendular (péndulo simple) hasta alcanzar una altura $h$ con respecto al punto más bajo de la misma. Nos proponemos calcular la velocidad con la que fue disparado el proyectil.

Por una parte, al no actuar fuerzas externas, el momento lineal, antes y después del impacto, permanece constante, en consecuencia, $m\,v=(m+M)\,V \quad (1)$, donde $V$ es la velocidad del conjunto bloque-proyectil en cuánto éste empieza a elevarse según la trayectoria pendular.

Inmediatamente después de que el proyectil se haya incrustado en el bloque -el conjunto empieza a moverse a una velocidad $V$- la energía mecánica total es igual a la suma de la energía cinética más la energía potencial del conjunto proyectil-bloque, y estableciendo el origen de potencial (cero de pontencial gravitatorio) en el punto más bajo de la trayectoria pendular, la energía mecánica total en ese instante es igual a $\dfrac{1}{2}\,(m+M)\,V^2$

Cuando el conjunto bloque-proyectil alcance el punto más elevado de la trayectoria pendular, la energía mecánica total en dicho instante en el que la velocidad es nula, es íntegramente energía potencial gravitatoria, $(m+m)\,g\,h$

En consecuencia, por el principio de conservación de la energía mecánica total, se tiene que

$$\dfrac{1}{2}\,(m+M)\,V^2=(m+M)\,g\,h \quad (2)$$

Despejando $V$ de (1) y sustituyendo la expresión resultante en (2), podemos escribir:

$$\dfrac{1}{2}\,(m+M)\cdot \left(\dfrac{m}{m+M}\,v\right)^2=(m+M)\,g\,h$$ y simplificando, $$v^2=\left(1+\dfrac{M}{m}\right)^2\cdot 2\,g\,h$$ luego $$v=\left(1+\dfrac{M}{m}\right)\cdot \sqrt{2\,g\,h}$$ En la expresión del segundo miembro, todas las cantidades son conocidas: las masa del proyectil, la masa del bloque (antes de que el proyectil quede incrustado en él) y la altura que alcanza el bloque en el punt más elevado del recorrido pendular, con lo cual podemos calcular así la velocidad con la que se disparó el proyectil. $\diamond$