Un ejercicio para determinar el origen de coordenadas del sistema de referencia centro de masas de un sistema de partículas aislado

Tres partículas en reposo, de masas $m$, $2m$ y $3m$ se ubican en los vértices de un triángulo equilátero de lado $\ell$ contenido en un plano -recordemos que, a efectos de los cálculos que vendrán, la amplitud angular de los tres ángulos de un triángulo equilátero es de $60^\circ$ y que los tres lados son de igual longitud-, que denotamos por $A$, $B$ y $C$, respectivamente. Se supone que el sistema está aislado (las fuerzas externas son nulas), por lo que nos interesa calcular la posición del centro de masas del sistema, ya que, eligiendo dicho punto como el centro, $O'$, de ese nuevo sistema de referencia (sistema centro de masas), $\sum'$, el movimiento del sistema será rectilíneo y a velocidad constante (con respecto a dicho sistema centro de masas), o, en particular, nulo (que es el caso que nos ocupa), manteniéndose rígidamente la configuración de las tres partículas, unas con respecto de las otras, en todo instante de tiempo.

Ya sabemos que podemo situar el centro de referencia del sistema laboratorio, $\sum$, en un punto arbitrario; en particular, por comodidad, es conveniente situarlo en la posición del punto $A$, es decir $O\equiv A$. Sabemos que la posición del centro del sistema centro de masas es, desde luego, la del punto centro de masas del sistema de tres partículas,$G$; esto es, $O'\equiv G$, luego $$\vec{r}_{\text{O'}}=\dfrac{m\,\vec{r}_{AA}+2m\,\vec{r}_{AB}+2m\,\vec{r}_{AC}}{m+2m+3m}$$ es decir, $$\displaystyle \vec{r}_{\text{O'}}=\dfrac{m\,\vec{0}+2m\,\left( \frac{\ell}{2}\,\hat{i}+\frac{\sqrt{3}}{2}\,\ell\,\hat{j}\right)+3m\,\ell\,\hat{j}}{m+2m+3m}=\dfrac{\vec{0}+4\,\ell\,\hat{i}+\sqrt{3}\,\ell\,\hat{j}}{6}=\dfrac{2}{3}\,\ell\,\hat{i}+\dfrac{\sqrt{3}}{6}\,\ell\,\hat{j}$$

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Estudio del movimiento de un sistema de dos partículas con respecto al sistema de referencia centro de masas

Consideremos de nuevo un sistema aislado -la resultante de las fuerzas externas es nula- formado por dos partículas, $P_1$ y $P_2$, de masas respectivas $m_1$ y $m_2$ que interaccionan mútuamente. Vamos a ver que el problema del movimiento de este sistema de dos partículas es interesante también estudiarlo con respecto al sistema de referencia centro de masas, $\sum'$. Veremos qué conclusiones podemos extraer de ello.

Ya sabemos que, con respecto a un sistema de referencia inercial $\sum$, al que llamaremos sistema laboratorio, la posición de las dos partículas en todo instante $t$ viene dada por los vectores $\vec{r}_1$ y $\vec{r}_2$. El vector que desde $P_2$ apunta a $P_1$ viene dado por tanto por la relación $\vec{r}=\vec{r}_1 - \vec{r}_2 \quad (1)$ y, en consecuencia, la velocidad y la aceleración de $P_1$ con respecto de $P_2$ son $\vec{v}:=\dot{\vec{r}}=\dot{\vec{r}_1} - \dot{\vec{r}_2} \quad (2)$ y $\vec{a}:=\ddot{\vec{r}}=\ddot{\vec{r}_1} - \ddot{\vec{r}_2} \quad (3)$, respectivamente.

Situemos ahora el origen del sistema de referencia $\sum'$ en el centro de masas del sistema, cuya posición con respecto de $\sum$ viene dada por $$\vec{r}_G=\dfrac{m_1\,\vec{r}_1+m_2\,\vec{r}_2}{m_1+m_2}$$

Así pues, con respecto del sistema centro de masas, $\sum'$, la posición de las partículas (en todo instante de tiempo $t$) viene dada por:

• $\vec{r'_1}=\vec{r}_1-\vec{r}_G=\vec{r}_1-\dfrac{m_1\,\vec{r}_1+m_2\,\vec{r}_2}{m_1+m_2}=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,(\vec{r}_1-\vec{r}_2)=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,\vec{r}$
• $\vec{r'_2}=\vec{r}_2-\vec{r}_G=\vec{r}_2-\dfrac{m_1\,\vec{r}_1+m_2\,\vec{r}_2}{m_1+m_2}=\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,(\vec{r}_2-\vec{r}_1)=-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,(\vec{r}_1-\vec{r}_1)=-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,\vec{r}$

En consecuencia, al derivar una vez con respecto de $t$:

• $\vec{v_1'}:=\dot{\vec{r_1'}}=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,\dot{\vec{r}}=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,\vec{v}$
• $\vec{v_2'}:=\dot{\vec{r_2'}}=-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,\dot{\vec{r}}=-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,\vec{v}$

El momento lineal de cada una de las dos partículas con respecto a $\sum'$ es pues:

• $\vec{p_1'}:=m_1\,\dot{\vec{v_1'}}=\dfrac{m_1\,m_2}{m_1+m_2}\,\vec{v}=\mu\,\,\vec{v}$   (recordemos que $\mu=\dfrac{m_1\,m_2}{m_1+m_2}$ es la masa reducida del sistema de partículas)
• $\vec{p_2'}:=m_2,\dot{\vec{v_2'}}=-\dfrac{m_1\,m_2}{m_1+m_2}\,\vec{v}=-\mu\,\vec{v}$

Llegamos aquí a una conclusión importante: la suma de los momentos lineales de las dos partículas es nula, esto es, el momento lineal total del sistema de dos partículas con respecto del sistema centro de masas es nulo $$\vec{p'}_{\text{total}}:=\vec{p_1'}+\vec{p_2'}=\mu\,\,\vec{v}+(-\mu\,\,\vec{v})=(\mu-\mu)\,\vec{v}=\vec{0}$$ Los momentos lineales de las dos partículas, con respecto al sistema de referencia centro de masas $\sum'$, son iguales y de sentido opuesto.

Por otra parte, derivando las velocidades:

• $\vec{a_1'}:=\dot{\vec{v_1'}}=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,\ddot{\vec{r}}$
• $\vec{a_2'}:=\dot{\vec{v_2'}}=-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,\ddot{\vec{r}}$

Y, por la segunda ley de Newton, teniendo en cuenta que el sistema es aislado (las fuerzas externas son nulas):

• $\vec{f}_{12}=m_1\,\vec{a_1'}=m_1\cdot \dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,\ddot{\vec{r}}=\dfrac{m_1\,m_2}{m_1+m_2}\,\ddot{\vec{r}}=\mu\,\ddot{\vec{r}}$
• $\vec{f}_{21}=m_2\,\vec{a_2'}=m_2\cdot \left(-\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,\ddot{\vec{r}}\right)=-\dfrac{m_1\,m_2}{m_1+m_2}\,\ddot{\vec{r}}=-\mu\,\ddot{\vec{r}}$

con lo cual, la suma de las fuerzas internas es nula: $\vec{f}_{12}+\vec{f}_{21}=\mu\,\ddot{\vec{r}}+(-\mu\,\ddot{\vec{r}})=\vec{0}$, de donde recuperamos la tercera ley de Newton: $\vec{f}_{12}=-\vec{f}_{21}$

Es importante también decir que, al no actuar fuerzas externas sobre el sistema de partículas, la aceleración del centro de masas es nula, luego el movimiento de dicho centro de masas es rectilíneo y su velocidad es constante; lo cual no está en contradicción con lo deducido arriba de que el momento lineal total del sistema (la suma de los momentos lineales de las dos partículas) sea nulo. Podemos decir por tanto que el sistema de referencia centro de masas $\sum'$ es un sistema inercial. $\diamond$