ɸ Blog : julio 2023

jueves, 20 de julio de 2023

martes, 4 de julio de 2023

Ejemplo de una operación (sencilla) de contracción tensorial de índices empleando la herramienta GNU Maxima

Se trata de reproducir la siguiente operación de contracción de índices $b^{i\,\ell}\,c_{ij}\,a^{jk}$, que, cláramente, da como resultado $c^{\ell\,k}$. Lo que sigue es el código que he utilizado para pedirle a MAXIMA que reproduzca automáticamente este sencillo cálculo:

  (%i1)	load("itensor")$ /*carga de la librería necesaria */

  (%i2)	imetric(b); 
  (%o2)	done
  
  (%i3)	ishow(contract(a([-j,-k],[])*b([-i,-l],[])*c([i,j],[])))$
  (%t3)	c^l k

$\diamond$

Funciones del tipo "sombrero mejicano"

Podemos decir burdamente, de manera muy general, que las onduletas o ondículas (wavelets, en inglés) son funciones oscilatorias de duración finita. Son funciones del tipo "sombreo mejicano" y se utilizan para aproximar otras funciones que presenten variaciones bruscas/abruptas. He aquí un par de ejemplos (gráficas elaboradas con la herramienta GNU MAXIMA):

    (%i1) plot3d((1-(x^2+y^2))*exp(-(x^2+y^2)),[x,-2,3],[y,-2,2],[legend,false]) ;

  (%i31) plot3d(2*sin(x^2+y^2)/(x^2+y^2),[x,-3,3],[y,-4,4],[legend,false]);
 -->

$\diamond$ -oOo-

Utilidades:

[1] GNU MAXIMA

lunes, 3 de julio de 2023

Algo importante para interpretar bien la fórmula de Einstein "e igual a eme_c_dos" de la Teoría Especial de la Relatividad (TER)

La expresión de la energía relativista de una partícula es $E:=m_0\,c^2+K$, siendo $m_0\,c^2$ la energía de la partícula en reposo (que solemos denotar por $E_0$); y, por tanto, $K=m\,c^2-m_0\,c^2$, la energía cinética de la partícula en movimiento, siendo $m=\gamma(v)\,m_0$ la masa relativista de la partícula que se mueve (con respecto a un observador inercial) con velocidad $v$, en una dimensión. En consecuencia, la energía cinética de la partícula puede expresarse de la forma $K=m\,c^2-m_0\,c^2$ (de maneras equivalentes: $K=E-E_0=m\,c^2-E_0$ o, también, $E=K+E_0$).

La expresión de la energía $m_0\,c^2$ es válida para una partícula de masa, $m_0$, no nula, y en reposo. Si la partícula se mueve, a una cierta velocidad $\vec{v}$, hay que corregir dicha expresión multiplicando por el factor relativista (factor de Lorentz); así, la fórmula correcta de la energía de la partícula es $E=m_0\,\gamma(v)\, c^2$ (1), donde $\displaystyle \gamma(v)=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}$, o lo que es lo mismo (y por comodidad), $\displaystyle \gamma(v)=\left(1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^2\right)^{-1/2}$. Nota: En algunos desarrollos, se utiliza (por comodidad) la notación $\beta(v)$ para referirse a la razón $v/c$, por lo que el factor de Lorentz suele escribirse también de la forma $\gamma(v)=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta(v)^2}}$. Aquí no emplearé esta designación, que, por lo general, es también muy familiar en los textos.

Así pues, la energía cinética de la partícula puede expresarse de la forma $K=\gamma(v)\, m_0\,c^2-m_0\,c^2=(\gamma(v)-1)\,m_0\,c^2$, con lo cual la energía (relativista) de la partícula puede escribirse de la forma $E=\gamma(v)\,m_0\,c^2$

Veamos ahora, cómo, en condiciones no relativistas, recuperamos los resultados newtonianos:

Desde luego si $v \sim 0$, se tiene que $\gamma(v) \approx 1$, con lo cual $E \sim m_0\,c^2$
Si $v\ll c$, y por tanto, si $\dfrac{v}{c} \ll 1$, denotando $v/c$ por $x$ ($x\ll 1$, es decir $x\approx 0$), podemos desarrollar la función $f(x)=\left(1-x\right)^{-1/2}$ en serie de Taylor alrededor de $x=0$, obteniendo: (omito los cálculos) $f(x)=1+\dfrac{1}{2!}\,x^2+\dfrac{3}{4!}\,x^4+\ldots \approx 1+\dfrac{1}{2}\,x^2$, por consiguiente, cortando el desarrollo (muy razonablemente) en el segundo término, $f(x)=1+\dfrac{1}{2!}\,x^2+R_{3}(x)$; donde, en nuestro caso, con el desarrollo alrededor de $x=0$, es $R_{3}(x)=\dfrac{f^{(3)}(\xi)\,(x-0)^3}{3!}$ ($\xi$ pertenece al intervalo $(0,x)$) es el resto de Lagrange, que (obviamente) tiene un valor muy pequeño (despreciable). Por todo ello podemos escribir la siguiente aproximación del factor de Lorentz $\gamma(v) \approx 1+\dfrac{1}{2}\,\dfrac{v^2}{c^2}$. De ahí se sigue que (1) puede escribirse como $E = m_0\,\gamma(v)\,c^2 \approx \left(1+\dfrac{1}{2}\,\dfrac{v^2}{c^2}\right)\cdot m_0\,c^2=m_0\,c^2+\dfrac{1}{2}\,m_0\,v^2$, esto es, la suma de la energía en reposo y la energía cinética de la misma, que, debido a la aproximación del desarrollo de Taylor, su expresión (insistamos en que sólo para $v\ll c$) es $\dfrac{1}{2}\,m_0\,v^2$.
Si $v \sim c$, entonces $\gamma(v) \rightarrow \infty$, y por tanto, de (2) se sigue que $E \rightarrow \infty$, por lo que no se puede llevar una partícula de masa no nula a la velocidad igual a la de la luz, pues ello supondría dispensar una energía infinita.
¿Imposibilidad (según la TER) de superar la velocidad de la luz? En efecto, si $v$ fuese mayor que $c$ entonces $1-\dfrac{v^2}{c^2} \lt 1$, con lo cual $\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}$ sería un número imaginario, y, por tanto, también $E$.

-oOo-

A continuación, examinaremos (jugando con las expresiones algebraicas) la relación entre $\gamma(v)$, $E$ y la cantidad de movimiento relativista $p$. Para empezar, recordemos que la cantidad de momvimiento (relativista) de una partícula es $p:=\gamma(v)\,m_0\,v$. Teniendo en cuenta, también, que la energía relativista de la partícula es $E=\gamma(v)\,m_0\,c^2$, se tiene que, dividiendo miembro a miembro, la segunda igualdad entre la primera, llegamos a $\dfrac{v}{c^2}=\dfrac{p}{E}$, y, por tanto, $\dfrac{v}{c}=\dfrac{p\,c}{E}$; esto es, la cantidad de movimiento relativista puede escribirse (también) de la forma $p=\dfrac{v\,E}{c^2}$.

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Observación (caso de los fotones): Una irreflexiva interpretación de $p:=\gamma(v)\,m_0\,v$, en el caso de un fotón, podría llevar a deducir errónemente que, al ser cero la masa en reposo de un fotón, su cantidad de movimiento es también nulo, lo cual no es así, pues es claro (por evidencia experimental) que la presión de radiación de los fotones no es nula; para deshacer este entuerto, notemos que, por un lado, un fotón siempre está viajando a la velocidad de la luz, por lo que $v/c=1$, y, por otro lado, podemos escribir $p:=\gamma(v)\,m_0\,v$ de la forma $p=m_0\,\dfrac{v}{\sqrt{1-(v/c)^2}}=m_0\,c\,\dfrac{v/c}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$, donde si bien $m_0=0$ (para una partícula de masa en reposo nula, tal como el fotón), $\displaystyle \text{lím}_{(v/c) \rightarrow 1}\,\dfrac{v/c}{\sqrt{1-(v/c)^2}}=+\infty$, llegando pues a una indeterminación del tipo $[0\cdot +\infty]$, la cual, sabemos que ha de resolverse en $p=\dfrac{h}{\lambda}$, donde $h$ es la constante de Planck y $\lambda$ la longitud de onda asociada al fotón.

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También podemos escribir una expresión que relacione directamente el momento relativista $p$ de una partícula con la energía (relativista) y el factor de Lorentz; en efecto, como $\gamma(v):=\dfrac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$, se tiene que $\gamma(v)^2=\dfrac{1}{1-(v/c)^2}$, luego $1-(v(c)^2=\dfrac{1}{\gamma(v)^2}$, por lo que $(v/c)^2=\dfrac{\gamma(v)^2-1}{\gamma(v)^2}$ y por tanto $v/c=\dfrac{\sqrt{\gamma(v)^2-1}}{\gamma(v)}$, y recordando que $v/c=\dfrac{p\,c}{E}$, podemos escribir que $p=\dfrac{\sqrt{\gamma(v)^2-1}}{\gamma(v)}\cdot\dfrac{E}{c}$, y notemos que, como $\displaystyle \text{lím}_{(v/c) \rightarrow 1}\,\dfrac{\sqrt{\gamma(v)^2-1}}{\gamma(v)}=1$, luego $p\rightarrow E/c$ cuando $v \rightarrow c$

Por otra parte, podemos expresar la energía relativista mediante la cantidad de movimiento relativista; en efecto, elevando al cuadrado los dos miembros de $E=\gamma(v)\,m_0\,c^2$, y teniendo en cuenta lo que se acaba de decir, se tiene que $E^2=\gamma(v)^2\,m_{0}^2\,c^4=\dfrac{1}{1-(v/c)^2}\,m_{0}^2\,c^4=\dfrac{1}{1-(pc/E)^2}\,m_{0}^2\,c^4=\dfrac{E^2}{E^2-(pc)^2}\,m_{0}^2\,c^4$, luego $E^2=\dfrac{E^2}{E^2-(pc)^2}\,m_{0}^2\,c^4$, con lo cual $E^2\,(E^2-(pc)^2)=E^2\,m_{0}^2\,c^4$; esto es, $E^2\,\left(E^2-(pc)^2-m_{0}^2\,c^4\right)=0$ $\therefore\,\,E^2=(pc)^2+m_{0}^2\,c^4$