¿Qué es un álgebra de Clifford?

La estructura general de álgebra sobre un cuerpo $K$ —no debemos confundir la noción de K álgebra de la que hablo aquí con lo que se entiende por «álgebra» de Boole, la estructura (esencialmente un retículo distributivo) tan familiar en el cálculo de probabilidades y también en electrónica digital y lógica de primer orden—, da lugar a álgebras específicas que son de gran utilidad en Física Teórica. Dado un espacio lineal (espacio vectorial) $V$ sobre un cuerpo $K$ y una forma cuadrática $Q$ sobre $V$, un álgebra de Clifford se define sobre $T(V)/I(V)$, donde $T(V)$ es un álgebra tensorial sobre $V$ e $I(V)$ es un ideal particular de $T(V)$. Los espinores son vectores de dos componentes con los que se pueden describir tanto los fermiones como los bosones. Dichos objetos matemáticos se manejan mediante las álgebras de Clifford. Con las algebras tensoriales (véase la noción de tensor así como las de cálculo tensorial y álgebra tensorial) que no sean de Clifford pueden manejarse los bosones, pero no los fermiones. $\diamond$

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Referencias:
[1] vv.aa., Estructuras algebraicas (de la Wikipedia en inglés): https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_structure
(para dar un vistazo general)
[2] vv.aa., Estructura de grupo: https://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_(matemática)
[3] vv.aa., Estructura de anillo: https://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matemática)
[4] vv.aa., Estructura de un ideal de un anillo: https://es.wikipedia.org/wiki/Ideal_(teoría_de_anillos)
[5] vv.aa., Estructura de cuerpo K: https://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matemáticas)
[6] vv.aa., Estructura de espacio vectorial (o espacio lineal): https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
[7] vv.aa., Estructura de álgebra sobre un cuerpo K: https://es.wikipedia.org/wiki/Álgebra_sobre_un_cuerpo
[8] vv.aa., Tensores y aplicaciones multilineales: https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor

[9] vv.aa., Cálculo tensorial: https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorial

[10] vv.aa., Estructura de álgebra tensorial: https://es.wikipedia.org/wiki/Álgebra_tensorial
[11] vv.aa., Forma cuadrática: https://es.wikipedia.org/wiki/Forma_cuadrática
[12] vv.aa., Estructura de álgebra de Clifford: https://es.wikipedia.org/wiki/Álgebra_de_Clifford
[13] vv.aa., Espinores: https://es.wikipedia.org/wiki/Espinor
[14] WolframMathWorld, Clifford's Algebra: https://mathworld.wolfram.com/CliffordAlgebra.html

¿Construye la la Naturaleza sus estructuras únicamente con procedimientos de «regla y compás»?

la geometría de «regla y compás» —la de la geometría en la que se fundamenta la antigua matemática griega— es la geometría euclídea, y seguimos utilizándola para muchas cosas; aunque ni mucho menos para todo. Nuestra experiencia sensorial tiende a hecernos pensar que esa geometría es la que rige la realidad. Se sabe, por ejemplo, que algunas espirales pueden construirse con procedimientos de «regla y compás», tal es el caso de la espiral de Durero —construída mediante la iteración de rectángulos áureos— sin embargo, otras no, como la espiral de Arquímedes —su tasa de crecimiento radial es igual a la de crecimiento angular—, y la espiral logarítmica —espiral que crece manteniendo la abertura angular constante, y que se parece a la e. de Durero, si bien no es la misma—. ¿Será, por tanto, que, por ejemplo, en relación a las estructuras de crecimiento naturales —ya sean éstas de tipo espiral o bien de cualquier otro tipo como son las fractales— que la Naturaleza construye sus estructuras únicamente con procedimientos de «regla y compás»? ¿Son todas las demás tan sólo meras invenciones de una mente matemática?.

Veamos que no es así. Obsevando no sólo las estructuras biológicas a ojo desnudo, podemos comprobar que la Naturaleza no se restringe a las geometrías euclídeas. La Física nos enseña que en el Universo no todo puede explicarse mediante la geometría euclídea. Así por ejemplo, el camino que seguimos al movernos con un rumbo fijo que forme un cierto ángulo con los meridianos describe una espiral sobre la superficie de una esfera —entendemos la superficie de la Tierra como casi esférica— que se estrecha progresivamente hasta llegar a uno de los dos polos de la Tierra. A dicha curva en una superficie esférica la llamomos loxodrómica. Y, desde luego, la Naturaleza no puede construirla con procedimientos de regla y compás, pues la geometría euclídea no sirve ya para describir este tipo de curvas, que, por supuesto, también son curvas naturales, tanto como pueda serlo la espiral del caparazón del Nautilus (una espiral de Durero). Tampoco se puede construir con regla y compás el camino de longitud mínima entre dos puntos de una superficie esférica, a la que llamamos ortodrómica.

Acabo de mencionar un par de ejemplos de sistuaciones en las que no basta la geometría euclídea, y los que debemos recurrir a gemetrías no euclídeas, como es el caso de la superficie de una esfera; y podemos pensar en muchos otras formas en las que no podemos usar esa geometría basada en la regla y el compás; en general, no es válida para otras superficies que no sean «planas». Podríamos hablar también de otro ejemplo en el que no rige la geometría euclídea: la superficie del espacio-tiempo cuatridimensional de la Relativad General de Einstein, mediante el cual describimos la gravedad no como una fuerza en el sentido newtoniano sino como la deformación de ese tejido espacio-temporal por parte toda masa/energía. Es otro claro ejemplo de la necesidad de recurrir a otra geometría no euclídea para entender cómo funciona la Naturaleza.

Así pues, parece ser que la respuesta a la pregunta que nos hacemos en el título de este artículo es negativa: la Naturaleza, no se limita a la regla y al compás; necesitamos otras geometrías «no planas» para entenderla. $\diamond$

-oOo- Referencias:
[1] vv.aa., Los secretos del infinito, Ilus Books, Barcelona, 1012
[2] vv.aa., La espiral dorada: https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_dorada, Wikipedia
[3] vv.aa., La espiral logarítmica: https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_logarítmica, Wikipedia
[4] vv.aa., La espiral de Arquímedes, https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Arquímedes, Wikipedia
[5] vv.aa., La espiral de Arquímedes: https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Arquímedes, Wikipedia
[6] vv.aa., Loxodrómica: https://es.wikipedia.org/wiki/Loxodrómica
[7] vv.aa., Ortodrómica: https://es.wikipedia.org/wiki/Ortodrómica
[8] vv.aa., El espacio-tiempo de la relatividad general: https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio-tiempo
[9] vv.aa., Fractales: https://es.wikipedia.org/wiki/Fractal, Wikipedia