Una aproximación a la fórmula barométrica (variación de la presión atmosférica con la altura)

Para empezar, debemos hacer algunas aproximaciones importantes, lo cual, desde luego, limitará la validez de la expresión que vamos a deducir, en el sentido que no será igualmente aplicable a la troposfera en su totalidad, sino solamente entre dos capas de la misma entre las que las siguientes suposiciones sean aceptables. Supondremos que:

1. Entenderemos el aire como un gas ideal (las partículas del aire chocan al azar, sin que haya un potencial de interacción), aunque realmente no sea así
2. La temperatura permanecerá constante en un cierto rango de alturas
3. La composición y la densidad del aire, las supondremos también constantes en dicho rango de alturas

De esta manera, podemos entender la idea de base que debemos utilizar para, en ulteriores refinamientos, poder aproximarnos a expresiones mucho más realistas.

Teniendo en cuenta (2), podemos escribir que $PV=nRT \quad (1')$, donde $P$ es la presión de un gas en un recipiente; $V$ es el volumen del mismo; $n$ es el número de moles del gas encerrado en el recipiente, $R$ es la constante de los gases ideales ($R=8,3144598\, \dfrac{\text{J}}{\text{mol·K}}$) y $T$ es la temperatura expresada en grados Kelvin.

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Es de notar que la ecuación de estado de los gases ideales puede escribirse también de la siguiente manera: $P=\rho\,k\,T$, donde $\rho$ es el número de moléculas de aire por unidad de volumen, y $k$ es la constante de Boltzmann, que está relacionada con la constante de los gases ideales, $R$, de la forma $k=\dfrac{R}{N_A}$, siendo $N_A$ (número de moléculas por mol) es el número de Avogadro. En efecto, partiendo de $(1')$, tenemos que
  $PV=nRT$
  $PV=n\,N_A\,k\,T$
donde $n\,N_A$ (recordemos que $n$ es el número de moles de aire y $N_A$ representa el número moléculas de aire por mol) es el número de moléculas de aire, que denotaremos por $N$, por lo tanto podemos escribir la ecuación de la forma:
  $PV=N\,k\,T$
dividiendo ahora por $V$ en ambos miembros de la igualdad,
  $P=\dfrac{N}{V}\,k\,T$
siendo $\dfrac{N}{V}$ el número de moléculas por unidad de volumen, esto es, $\rho$, con lo cual,
  $P=\rho\,k\,T \quad (1'')$, expresión en la que ya no aparece explícitamente el volumen del gas, lo cual, acaso sea interesante para ser empleada en algunos desarrollos, pues, la atmósfera, en principio, y aunque siempre estaremos pensando en una parte de la misma, no está encerrada, con un volumen determinado, a la manera de la imagen de un recipiente cerrado. En cualquier caso, tanto $(1')$ como $(1'')$ podremos aplicarlas; pero hay que insistir en que, realmente, el aire no es un gas ideal, y por tanto, esas ecuaciones proporcionan una descripción aproximada.

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Tomaremos ahora un cierto recinto atmosférico, entre dos capas de la atmósfera, y asumiremos que podemos entenderlo como el 'recipiente' en el que estudiamos el problema (a pesar de que no tenga paredes que lo cierren); además, supondremos que en este dominio son validas las suposiciones anteriormente expuesta (1,2,3 y 4). También tendremos en cuenta que la presión hidrostática en la troposfera decrece con la altura sobre el nivel del mar, $P(z) \propto - z$, donde $z$ es la altura sobre el nivel del mar, de tal modo que, $P(z)=-\sigma\,g\,z \quad (2)$, siendo $\sigma$ la densidad del aire (razón entre la masa y el volumen), que suponemos constante en el dominio delimitado, y $g$ es la intensidad del campo gravitatorio de la Tierra (que también consideramos aproximadamente constante en dicho dominio).

De $(1')$, debemos tner en cuenta que $P$ depende ahora de $z$, esto es, escribimos $V\,P(z)=nRT \quad (3)$. Por otra parte, diferenciando en ambos miembros de $(2)$, podemos escribir $dP(z)=d(-\sigma\,g\,z)$, luego $dP(z)=(-\sigma\,g\,z)'\,dz$ y por tanto se tiene que $dP(z)=-\sigma\,g\,dz \quad (4)$. Dividiendo ahora, miembro a miembro, $(4)$ entre $3$, encontramos la siguiente ecuación diferencial ordinaria: $$\dfrac{dP(z)}{P(z)}=-\dfrac{\sigma\,V}{n}\cdot \dfrac{g}{R\,T}\cdot dz$$ y teniendo en cuenta que $\dfrac{\sigma\,V}{n}$ es la masa molar del gas, a la que donotamos por $M$, podemos reescribir dicha ecuación diferencial de la forma $$\dfrac{dP(z)}{P(z)}=-\dfrac{M\,g}{R\,T}\cdot dz \quad (5)$$

Integrando en cada miembro de $(5)$, tenemos que $$\displaystyle \int\dfrac{dP(z)}{P(z)}=\int\, -\dfrac{M\,g}{R\,T}\cdot dz $$ resultando $$\ln\,P(z)=-\dfrac{M\,g}{R\,T}\cdot z+C$$ Para determinar el valor de la constante de integración, tendremos en cuenta que $P(0)$ es la presión al nivel del mar, a la que denotamos por $P_0$. Así pues, $$\ln\,P(0)=-\dfrac{M\,g}{R\,T}\cdot 0+C = 0+C \Rightarrow C=\ln\,P(0):=\ln\,P_0$$ con lo cual llegamos al siguiente resultado como modelo aproximado de la variación de la presión atmosférica en función de la altura, que consideramos válida en las condiciones expuestas:
  $\ln\,P(z)=-\dfrac{M\,g}{R\,T}\cdot z+\ln\,P_0$
    $\ln\,P(z)-\ln\,P_0=-\dfrac{M\,g}{R\,T}\cdot z$
      $\ln\,\left(\dfrac{P(z)}{P_0}\right)=-\dfrac{M\,g}{R\,T}\cdot z$
        $\displaystyle \dfrac{P(z)}{P_0}=e^{-\dfrac{M\,g}{R\,T}\cdot z}$
y por tanto $$P(z)=\displaystyle P_0\,e^{-\dfrac{M\,g\,z}{R\,T}}$$
Nota: Recordemos que utilizamos las unidades del Sistema Internacional. La presión se expresa en pascales ($\text{Pa}$), $1\,\text{Pa}=1\,\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}$; $M$ (masa molar) se expresa en $\dfrac{\text{kg}}{\text{mol}}$; la temperatura $T$, en grados Kelvin ($\text{K}$); $g$ (la intensidad del campo gravitatorio) en $\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$, y $R$ (la constante de los gases ideales) en $\dfrac{\text{J}}{\text{mol · K}}$

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Observación acerca de los valores de presión que aparecen en los mapas de líneas isóbaras en superficie

Tengamos en cuenta que los valores de presión atmosférica que se leen en los mapas de superficie están reducidos a la altura del nivel del mar. En la imagen podemos ver el mapa de presión en superficie previsto para los días que se indican (créditos: AEMET). Es importante tener esto en cuenta a la hora de, por ejemplo, calibrar un barómetro a partir de la información de dichos valores de presión reducida.

Así, por ejemplo, podemos apreciar que, la línea isóbara que corresponde a, pongamos que el Puerto de Cotos (Sierra de Guadarrama), es (aproximadamente) de $1028 \,\text{hPa}$. Ahora bien, la presión que indicará un barómetro en dicha lugar no será ésa, pues el Puerto de Cotos no está evidentemente al nivel del mar sino que tiene una altitud sobre el nivel del mar de $1830\,\text{m}$. Suponiendo que la temperatura del aire, al realizar dicho calibraje sea aproximadamente $0^\circ \,\text{C}$ (esto es $273 \,K$), la presión barométrica en dicho punto la calcularemos a partir de fórmula barométrica: $$\displaystyle P(z)=P_0\,e^{-\dfrac{M\,g}{R\,T}\cdot z}$$ Teniendo en cuenta los siguientes valores: masa molar del aire seco $M=2,897 \times 10^{-2} \, \dfrac{\text{kg}}{\text{mol}}$; $g=9,81\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$; $R=8,3144598\, \dfrac{\text{J}}{\text{mol·K}}$; $T=273,15\,\text{K}$, y tomando $P_{reducida}=1028\,\text{hPa}$, vemos que la presión barométrica en el Puerto de Cotos (no reducida) tiene que ser igual a: $$\displaystyle P(1830)=1028\cdot e^{-\dfrac{2,897\times 10^{-2}\cdot 9,81 \cdot 1830}{8,3144598\cdot 273,15}} \approx 818\,\text{hPa}$$

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Referencias:
  [1] Vidal, J.M., Curso de Física, , p. 109, Grafesa, Barcelona, 1974
  [2] Zemansky, M.W., Calor y Termondinámica, cap. 5, Aguilar, Madrid, 1973. [gas ideal]
  [3] Mederos, L., Meteorología, p. 21, Tutor, Madrid, 2018

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