Sobre la fusión del hielo flotante en el mar

Como es sabido, tanto el hielo ártico que forma el casquete polar Ártico, que es básicamente una gran masa de hielo marino rodeada de mar, como el hielo antártico en flotación en el océano glacial Antártico y que proviene del hielo continental (del contiente Antártico) y que por tanto está formado de hielo de agua dulce, van disminuyendo su extensión como consecuencia del calentamiento global, que funde progresivamente esas masas de hielo a consecuencia del aumento de temperatura del agua del mar. Por otra parte, hay que tener muy en cuenta que el solo efecto de la dilatación del agua debida al aumento de temperatura por el cambio climático, se da en todos los océanos y mares de la Tierra.

La fusión de los casquetes polares y la dilatación del agua del mar debida al calentamiento global

Si bien la fusión de los témpanos de hielo marino en el océano Ártico, en principio, no tienen como consecuencia un aporte de nueva agua al océano por estar formado dicho hielo por la propia agua del mar, el propio aumento de temperatura del agua del mar que es la causa de su fusión ocasiona la consiguiente dilatación del agua, y, por tanto, un aumento en el nivel del agua del mar. Por lo que se refiere a la fusión del hielo antártico (hielo continental) en flotación, éste sí contribuye directamente y de manera importante a un aporte de de agua (dulce) al océano, pues el hielo antártico se forma a partir del agua dulce del continente. Este aporte de agua dulce al océano antártico tiene como efecto el disminuir la salinidad del mismo, modificándose de este modo la corrientes termohalinas a nivel global, con el correspondiente efecto sobre los intercambios termodinámicos entre el océano y la atmósfera, y, por consiguiente, sobre el clima global.

Profundicemos ahora un poco en el detalle de la fusión de los témpanos de hielo, ya sean estos de hielo marino (en el Ártico) o bien de hielo continental (en el océano Antártico).

Hielo en flotación

Al congelarse una cierta cantidad de agua, se produce un aumento de volumen de aproximadamente el $9\,\%$ del volumen de agua inicial; por tanto, el hielo tiene una densidad menor que la del agua en fase líquida, por lo que ésta es la razón de que el hielo, ya sea éste de agua dulce o bien de agua salada, flote en el agua, ya se trate ésta de agua dulce o de agua de mar. Abajo discutiremos ambos casos. Denotaremos por $d_{hc}$ a la densidad del hielo continental y por $d_{am}$ a la densidad del agua del mar, siendo $d_{hc} \lt d_{ad} \lt d_{am}$, donde $d_{ad}$ denota la densidad de agua dulce. Hay que tener en cuenta también que el agua del mar, $d_{am}$, al contener sal disuelta, es más densa que el agua dulce, esto es, $d_{ad} \lt d_{am}$

Hielo marino en flotación: En un témpano de hielo marino en flotación en el agua (del mar), una parte del volumen total del mismo, $V_{hm}$, emerge ($V_{hm_{1}}$) y el resto está sumergido ($V_{hm_{2}}$). Para que flote, la fuerza de empuje (Arquímedes) ha de ser igual al peso del témpano, luego $d_{am}\,V_{hm_{2}}\,g=d_{hm}\,V_{hm_{2}}\,g$, luego la fracción de volumen de hielo marino sumergido es $\dfrac{ V_{hm_{2}}}{V}=\dfrac{d_{hm}}{d_{am}} \quad (1)$, y, como $V_{hm} = V_{hm_{1}}+ V_{hm_{2}}$ se tiene que la fracción de volumen de hielo marino emergido es $\dfrac{ V_{hc_{1}}}{V_{hm}}=1-\dfrac{ V_{hm_{2}}}{V_{hc}}$, que es lo mismo que $\dfrac{V_{hm_{1}}}{V_{hm}}=\dfrac{d_{am}-d_{hm}}{d_{am}} \quad (2)$

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Nota: El agua del mar tiene por término medio una concentración de sales de alrededor de $35\,\dfrac{\text{g}}{L}$, que corresponde aproximadamente a $3,5\,\%$ de concentración de sal. Esas sales son de hierro, magnesio, potasio, bromo, calcio, boro y flúor; además, el agua marina cotiene oligoelementos (hierro, manganeso, cobre, yhodo, silicio y fósforo); y, por supuesto, zooplancton y fitoplancton. Al helarse el agua del mar parte de las sales son expulsadas en el proceso de cristalización, formando una especie de salmuera, por lo que la concentración salina del agua que se obtiene al fundir ese hielo es menor (de entre el $0,1\,\%$ y el $2\,\%$ de concentración de sales); por tanto, dicha agua de fusión, si pudiese recogerse, no llegaría a ser agua dulce, pero es menos salada que el agua del mar.

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Hielo continental en flotación: En un témpano de hielo continental en flotación en el agua (del mar), utilizando la misma notación para el volumen emergido y sumergido, e imponeniendo la condición de equilibrio (en la flotación): $d_{am}\,V_{hc_{2}}\,g=d_{hm}\,V_{hc_{2}}\,g$, luego la fracción de volumen de hielo continental sumergida es $\dfrac{ V_{hc_{2}}}{V_{hc}}=\dfrac{d_{hc}}{d_{am}} \quad (1')$, y, como $V_{hc} = V_{hc_{1}}+ V_{hc_{2}}$ se tiene que la fracción de volumen de hielo continental emergida, es $\dfrac{ V_{hc_{1}}}{V_{hc}}=1-\dfrac{ V_{hc_{2}}}{V_{hc}}$, que es lo mismo que $\dfrac{V_{hc_{1}}}{V_{hc}}=\dfrac{d_{am}-d_{hc}}{d_{am}} \quad (2')$.

El hielo continental en flotación se hunde más que un mismo volumen de hielo marino en flotación. Comprobémoslo comparando el volumen sumergido de hielo marino en relación al volumen sumergido de hielo continental, tomando el mismo volumen total de hielo: si $V_{hc}=V_{hm}$, dividiendo miembro a miembro $(1)$ entre $(1')$ vemos que $\dfrac{V_{hm_{2}}}{V_{hc_{2}}}=\dfrac{d_{hm}}{d_{hc}} \gt 1$ pues, al contener sal el hielo marino y no el hielo continental, $d_{hm} \gt d_{hc}$, con lo cual $V_{hm_{2}} \lt V_{hc_{2}}$. En consecuencia, con el mismo volumen de témpano de hielo total, un témpano de hielo marino está menos sumergido que un témpano hielo continental.

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Nota: Con los siguientes datos sobre las densidades medias: del agua del mar (am), del hielo continental (hc), del hielo marino (hm): $d_{am} \approx 1\,025 \;\text{kg} \cdot \text{m}^{-3}$; $d_{hm} \approx 920 \;\text{kg} \cdot \text{m}^{-3}$; $d_{hc} \approx 917 \;\text{kg} \cdot \text{m}^{-3}$ —recordemos que la densidad del agua dulce (ad) es $d_{ad}\approx 1\,000\;\text{kg} \cdot \text{m}^{-3}$— se obtiene $\dfrac{ V_{hm_{2}}}{V}=\dfrac{920}{1\,025}\approx 0,898$, esto es, el volumen sumergido de un témpano de hielo marino es del $89,8\,\%$ de su volumen total. Y de $\dfrac{ V_{hc_{2}}}{V_{hc}}=\dfrac{917}{1\,025}\approx 0,895$, es decir, un $89,5\,\%$ del volumen total de un témpano de hielo continental está sumergido.

Ejemplo: Imaginemos que, navegando en el océano Antártico, cerca del contienente, avistamos un témpano de hielo desprendido de un glaciar (hielo continental). Estimamos que el volumen emergido es de $150\,\text{m}^3$ y nos preguntamos cuál es el volumen total del témpano y cuál es su masa.
  Como sabemos que el $89,5\,\%$ del volumen total está sumergido, el volumen emergido representa un $100\,\%-89,5\,\%=10,5\,\%$ del volum total; entonces, basta con hacer un cálculo de proporcionalidad para determinar el volumen total $V$ de dicho témpano: $\dfrac{100}{10,5}=\dfrac{V}{150}$, con lo cual $V=\dfrac{150\cdot 100}{10,5}\approx 1429\,\text{m}^3$. Y, como conocemos la densida del hielo continental, $d_{hc}=917\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$, la masa que estimamos de ese témpano es de $917\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\cdot 1\,429\,\text{m}^3 = 1\,310\,393\,\text{kg}$.
  Al estar dicho témpano de hielo formado de agua dulce, esa masa de hielo de agua dulce (cuya densidad es de $1\,000\,\dfrac{\text{kg}}{\text{dm}^3}$, esto es, de $1\,\text{kg}$ por cada litro), supone un volumen de agua (dulce) de $1\,310\,393\,\text{L}$. Si fuese posible aprovecharlo, por ejemplo, para el suministro de agua de una base antártica en la que viven $20$ personas, ¿para cuántos días se dispondría de agua dulce, contando con un consumo estimativo de $50\,\text{L}$ por persona y día? Pues bien, haciendo un sencillo cálculo de proporcionalidad encotramos que el suministro duraría $\dfrac{1\,310\,393\,\text{L}}{20\cdot 50 \dfrac{\text{L}}{\text{día}}} \approx 1\,310\,\text{días}$

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Acerca de la fusión de hielo continental en flotación en el océano

Al fundirse un témpano de hielo continental, éste aporta un incremento de la cantidad de agua del océano, que corresponde a la del hielo continental que lo formaba, por lo que se reducirá la concentración de sales del agua del mar, la salinidad del mar disminuirá. Además, el aumento de temperatura del agua del mar que ha ocasionado la fusión del témpano de hielo continental tiene también el efecto de dilatar el agua del mar. El aporte al mar del agua del témpano de hielo continental, sumado a la dilatación del agua (líquida) del mar, tiene como efecto un mayor aumento del nivel del mar. La elevación de la tempertatura debida al cambio climático produce; por tanto, y como desgraciadamente puede comprobarse, se produce un aumento del nivel del mar, que es progresivo y va a la par con el efecto creciente y global del cambio climático.

Acerca de la fusión del hielo marino en flotación en el océano

Recordemos que una cierta cantidad de agua, ya sea dulce o marina, como es el caso, se produce un aumento de volumen de aproximadamente el $9\,\%$ del volumen de agua inicial; por tanto, como en el caso del hielo formado a partir del agua continental, el hielo formado a partir del agua del mar tiene también una densidad menor que la del agua del mar en fase líquida, y, por tanto, el hielo marino, también flota en el agua del mar; denotaremos por $d_{hm}$.

A diferencia de la formación del hielo continental, el hielo marino de los témpanos en flotación en el océano se forma por la congelación de la propia agua del mar, razón por la cual la fusión de un témpano de hielo marino no incrementa la cantidad de agua del océano; sin embargo, y por otra parte, como ya se ha dicho en el caso de la fusión del hielo a consecuencia del aumento de la temperatura del agua del mar en la que flota, la dilatación de ésta (por causa del aumento de temperatura), hace que el agua del mar se dilate, por lo que este segundo efecto de la dilatación del agua calentada, sí contribuye al aumento del nivel del mar.

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Un juguete para el lanzamiento parabólico de bolitas

Un juguete consta de un tubito cerrado por un extremo, dentro del cual hay un resorte, de recuperación elástica $k$, unido por un extremo a la base del cilindro y por el otro a una plataforma circular que ajusta perfectamente en el diámetro interior, de manera que se pueda desplazar sin rozamiento por dentro del cilindro. Comprimiendo el resorte una longitud $\ell$ y asegurando la posición de la plataforma mediante un pestillo, colocamos dentro del cilindro una pequeña esfera de plástico de masa $m$ del mismo radio que la cara interior del cilindro, y, a continuación, liberamos el pestillo, para que la bolita saldrá impulsada por el resorte. Al lanzar la bola, hemos inclinado el tubo un ángulo $\theta$ con respecto al a la horizontal. ¿Cuál es el alcance en la dirección horizontal de la bola? ¿Y el máximo alcance posible?

Para responder a las preguntas, necesitamos calcular la celeridad (módulo del vector velocidad) inicial de la bola, $v_0$. Para ello, tegamos en cuenta que la energía potencial del resorte tendrá que transformarse enteramente en energía cinética de de la bola (suponemos que no hay retroceso en el tubito lanzador, pues éste está sólidamente fijado) y que el rozamiento entre la bola y las paredes interiores del cilindro es despreciable, así como también suponemos que no hay pérdida de energía por calor en la recuperación elástica del resorte. Entonces, $\dfrac{1}{2}\,k\,\ell^2=\dfrac{1}{2}\,m\,v_{0}^2 \Rightarrow v_0=\ell \,\sqrt{\dfrac{k}{m}} \quad (1)$.

Situemos el origen de referencia en el punto de lanzamiento, con ejes ortogonales: el eje $Ox$ sobre el plano horizontal, en la dirección en la que apunta el cilindro, y el eje $Oy$ en dirección la perpendicular al eje $Ox$ y en sentido contrario a la intensidad del campo gravitatorio, para cuya intensidad tomaremos el valor estándar $g=9,81\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$.

La velocidad de la bolita, en dicho sistema de referencia, se descompone pues en dos componentes ortogonales, cuyos módulos son $v_{0_{x}}=v_0\,\cos\,(\theta)$ y $v_{0_{y}}=v_0\,\sin\,(\theta)$.

Las ecuaciones de posición de la bola en todo instante de tiempo $t$, contado desde el momento del lanzamiento, son (como es bien sabido) $x(t)=v_{0_{x}}\,t \quad (1)$ y $y(t)=v_{0_{y}}\,t - \dfrac{1}{2}\,g\,t^2\quad (2)$ (ecuaciones paramétricas de una parábola).

Para calcular el alcance horizontal, debemos tener en cuenta que en el momento en que la bola aterrice, la coordenada $y$ toma, al igual que en el momento del lanzamiento, el valor cero. Por tanto, igualando $(2)$ a $0$, obtendremos el tiempo que transcurre desde el lanzamiento hasta el aterrizaje, esto es, el tiempo de vuelo: $0=v_{0_{y}}\,t - \dfrac{1}{2}\,g\,t^2 \Rightarrow t_{\text{vuelo}}=\dfrac{2\,v_{0_{y}}}{g}$. Y, sustituyendo este valor en $(1)$, llegamos a la expresión del alcance, esto es, el valor de la coordenada $x$ para $t=t_{\text{vuelo}}$: $$x(t_{\text{vuelo}})=\dfrac{v_{0}^{2}\,\sin\,(2\,\theta)}{g} \quad (2)$$

De la expresión anterior, vemos que este alcance es máximo cuando el valor del seno de $2\,\theta$ toma el valor máximo, esto es, en el caso de que $\sin\,(2\,\theta)=1$; y, por tanto, eso ocurre para $2\,\theta = \dfrac{\pi}{2}\,\text{rad}$, esto es, en el caso de que $\theta=\dfrac{\pi}{4}\, \text{rad}$, que, si lo expresamos en grados sexagesimales corresponde a una inclinación del cilindro de lanzamiento de $45^\circ$. Así pues el máximo alcance viene dado por $x_{\text{máximo}}=\dfrac{v_{0}^{2}}{g} \quad (3)$

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Ejemplo. Pongamos de un supuesto razonable (para el juguete) como es el siguiente: $m=0,003\,\text{kg}$; $k=1000\,\dfrac{\text{N}}{\text{m}}$ y $\ell=0,01\,\text{m}$. Entonces, de $(1)$ vemos que el módulo de la velocidad toma el valor $v_0 \approx 5,77\,\dfrac{m}{s}$, y que, de $(3)$, el alcance máximo (para $\theta=45^\circ$) es $x_{\text{máximo}}\approx 3,40\,\text{m}.$   $\diamond$