Un juguete consta de un tubito cerrado por un extremo, dentro del cual hay un resorte, de recuperación elástica $k$, unido por un extremo a la base del cilindro y por el otro a una plataforma circular que ajusta perfectamente en el diámetro interior, de manera que se pueda desplazar sin rozamiento por dentro del cilindro. Comprimiendo el resorte una longitud $\ell$ y asegurando la posición de la plataforma mediante un pestillo, colocamos dentro del cilindro una pequeña esfera de plástico de masa $m$ del mismo radio que la cara interior del cilindro, y, a continuación, liberamos el pestillo, para que la bolita saldrá impulsada por el resorte. Al lanzar la bola, hemos inclinado el tubo un ángulo $\theta$ con respecto al a la horizontal. ¿Cuál es el alcance en la dirección horizontal de la bola? ¿Y el máximo alcance posible?
Para responder a las preguntas, necesitamos calcular la celeridad (módulo del vector velocidad) inicial de la bola, $v_0$. Para ello, tegamos en cuenta que la energía potencial del resorte tendrá que transformarse enteramente en energía cinética de de la bola (suponemos que no hay retroceso en el tubito lanzador, pues éste está sólidamente fijado) y que el rozamiento entre la bola y las paredes interiores del cilindro es despreciable, así como también suponemos que no hay pérdida de energía por calor en la recuperación elástica del resorte. Entonces, $\dfrac{1}{2}\,k\,\ell^2=\dfrac{1}{2}\,m\,v_{0}^2 \Rightarrow v_0=\ell \,\sqrt{\dfrac{k}{m}} \quad (1)$.
Situemos el origen de referencia en el punto de lanzamiento, con ejes ortogonales: el eje $Ox$ sobre el plano horizontal, en la dirección en la que apunta el cilindro, y el eje $Oy$ en dirección la perpendicular al eje $Ox$ y en sentido contrario a la intensidad del campo gravitatorio, para cuya intensidad tomaremos el valor estándar $g=9,81\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$.
La velocidad de la bolita, en dicho sistema de referencia, se descompone pues en dos componentes ortogonales, cuyos módulos son $v_{0_{x}}=v_0\,\cos\,(\theta)$ y $v_{0_{y}}=v_0\,\sin\,(\theta)$.
Las ecuaciones de posición de la bola en todo instante de tiempo $t$, contado desde el momento del lanzamiento, son (como es bien sabido) $x(t)=v_{0_{x}}\,t \quad (1)$ y $y(t)=v_{0_{y}}\,t - \dfrac{1}{2}\,g\,t^2\quad (2)$ (ecuaciones paramétricas de una parábola).
Para calcular el alcance horizontal, debemos tener en cuenta que en el momento en que la bola aterrice, la coordenada $y$ toma, al igual que en el momento del lanzamiento, el valor cero. Por tanto, igualando $(2)$ a $0$, obtendremos el tiempo que transcurre desde el lanzamiento hasta el aterrizaje, esto es, el tiempo de vuelo: $0=v_{0_{y}}\,t - \dfrac{1}{2}\,g\,t^2 \Rightarrow t_{\text{vuelo}}=\dfrac{2\,v_{0_{y}}}{g}$. Y, sustituyendo este valor en $(1)$, llegamos a la expresión del alcance, esto es, el valor de la coordenada $x$ para $t=t_{\text{vuelo}}$: $$x(t_{\text{vuelo}})=\dfrac{v_{0}^{2}\,\sin\,(2\,\theta)}{g} \quad (2)$$
De la expresión anterior, vemos que este alcance es máximo cuando el valor del seno de $2\,\theta$ toma el valor máximo, esto es, en el caso de que $\sin\,(2\,\theta)=1$; y, por tanto, eso ocurre para $2\,\theta = \dfrac{\pi}{2}\,\text{rad}$, esto es, en el caso de que $\theta=\dfrac{\pi}{4}\, \text{rad}$, que, si lo expresamos en grados sexagesimales corresponde a una inclinación del cilindro de lanzamiento de $45^\circ$. Así pues el máximo alcance viene dado por $x_{\text{máximo}}=\dfrac{v_{0}^{2}}{g} \quad (3)$
Ejemplo. Pongamos de un supuesto razonable (para el juguete) como es el siguiente: $m=0,003\,\text{kg}$; $k=1000\,\dfrac{\text{N}}{\text{m}}$ y $\ell=0,01\,\text{m}$. Entonces, de $(1)$ vemos que el módulo de la velocidad toma el valor $v_0 \approx 5,77\,\dfrac{m}{s}$, y que, de $(3)$, el alcance máximo (para $\theta=45^\circ$) es $x_{\text{máximo}}\approx 3,40\,\text{m}.$ $\diamond$
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