Aplicaciones multilineales
Consideremos los espacios vectoriales $E_1,E_2,\ldots,E_p$ y $F$ sobre un cuerpo conmutatiovo $\mathbb{K}$. Decimos que $f:E_1\times E_2\times\ldots\times E_p \rightarrow F$ es una aplicación multilineal, si es lineal en cada espacio $E_i$, $i=1,2,\ldots,p$. Dicho de otro modo, si:
- $f(u_1,u_2,\ldots,u_i+u'_i,u_{i+1},u_{i+2},\ldots,u_p)=f(u_1,u_2,\ldots,u_{i-1},u_i,u_{i+1},u_{i+2},\ldots,u_p)+$ $+f(u_1,u_2,\ldots,u_{i-1},u'_i,u_{i+1},u_{i+2},\ldots,u_p)$ $\forall \,u_i \in E_i,\,1\le i \le p$, $\forall u'_{i}\in E_i$
- $f(u_1,u_2,\ldots, u_{i-1}\,\lambda u_i,u_{i+1},u_{i+2},\ldots,u_p)=\lambda\,f(u_1,u_2,\ldots,u_{i-1}\,u_i,u_{i+1},u_{i+2},\ldots,u_p)$ $\forall \,u_i \in E_i,\,1\le i \le p$ y $\forall k\in \mathbb{K}$
Formas multilineales (tensores)
Tensores covariantes
Si los espacios vectoriales $E_1,E_2,\ldots,E_p$ se consideran el mismo e.v. $E$ sobre $\mathbb{K}$, y por el e.v. $F$ entendemos el propio $\mathbb{K}$ puesto que, con las operaciones de suma y producto, $\mathbb{K}$ tiene estructura de espacio vectorial . Decimos que el conjunto de las aplicaciones multilineales de $E^p:=E\times E \times \ldots \times E$ en $\mathbb{K}$ es el conjunto de las formas multilineales $T_{p}(E)$ o conjunto de tensores covarintes de orden $p$. En particular, el conjunto de formas lineales de $E$ en $\mathbb{K}$, esto es, $T_{1}(E)$, es el espacio dual de $E$, al que designamos habitualmente por $E^*$.
Tensores contravariantes
Si los espacios vectoriales $E_1,E_2,\ldots,E_q$ son ahora, todos ellos iguales al espacio dual de $E$, $E^*$ y $F=\mathbb{K}$, Decimos que el conjunto de las formas multilineales de $E^* \times E^* \times \ldots \times E^*=:E^{*^{q}}$ en $\mathbb{K}$ es el conjunto de tensores contravariantes de orden $q$, y se le designa por $T^q(E)$. Observemos por tanto que, en particular, $T^1(E)=E^{**}$ es el espacio bidual de $E$.
Tensores mixtos
Las formas multilineales de $E^p \times E^{*^{q}}$ en $\mathbb{K}$ constituyen el conjunto de los tensores llamados mixtos $p$ veces covariantes y $q$ veces contravariantes, y se denota por $T_{q}^{p}(E)$. En particular, y de manera convenida podemos denotar $\mathbb{K}$ como $T_{0}^{0}(E)$.
Estructura de los conjuntos de tensores $p$ covariantes, $q$ contravariantes, y mixtos ($p$ covariantes, $q$ contravariantes) con las operaciones de suma y producto por escalares:
Los conjuntos de tensores $(T_p(E),+,\cdot_{\mathbb{K}})$, $(T^q(E),+,\cdot_{\mathbb{K}})$ y $(T_{p}^{q}(E),+,\cdot_{\mathbb{K}})$ tienen estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$.
La operación producto tensorial
Conviene hablar también de otra operación, conocida como producto tensorial. Consideremos los tensores $f\in T_m(E)$ ($m$ veces covariante) y $g\in T_n(E)$ ($n$ veces covariante) cualesquiera. Entonces, se define el producto tensorial de $f$ por $g$ (y se denota por $T_{m+n}$) como $$(f \oplus g)(x_1,x_2,\ldots,x_m,x_{m+1},\ldots,x_{m+n}):=f(x_1,x_2,\ldots,x_m)\cdot g(x_1,\ldots,x_n)$$ donde $\cdot$ indica el producto en $\mathbb{K}$.De manera análoga podemos definir el producto tensorial de tensores contravariantes y también el producto tensorial de tensores mixtos.
Propiedades del producto tensorial
Para tensores $f,g,h$ cualesquiera, se tiene que:(1) En general, $f \oplus g \neq g \oplus f$ (el producto tensorial no es conmutativo)
(2) $(f \oplus g ) \oplus h = f \oplus (g \oplus h)$ (se cumple la propiedad asociativa)
(3) $(\lambda \,f) \oplus g ) = \lambda\,(f \oplus g) = f \oplus (\lambda\,g)$, $\forall \lambda\in \mathbb{K}$
(4) $\left\{ \begin{matrix}(f + g ) \oplus h = f \oplus h + (g \oplus h) \\ f \oplus (g + h) = f \oplus g + f \oplus h\end{matrix}\right.$ (propiedad doblemente distributiva de $+$ con respecto de $\oplus$, y de $\oplus$ con respecto a $+$)
Nota: Iré completando estos apuntes
