A [1] i a [2] podeu llegir un parell d'articles introductoris sobre aquesta famosa equació que vaig escriure a mode de resum de les notes que vaig prendre i dels càlculs que vaig fer amb el programa DERIVE 6.1 quan vaig abordar el tema fent alguns exercicis, a partir de la lectura d'alguns llibres que es poden considerar com a clàssics en la matèria. L'equació logística (o funció logística) és una de les primeres equacions discretes on es va constatar la presència de caos determinista. L'equació expressa també un model clàssic de la dinàmica d'una població de creixement auto limitat en biologia matemàtica que va ser formulada per primera vegada per Pierre François Verhulst el 1838 i retrobada a posteriori per per Alfred J. Lotka (especialment conegut pels treballs conjunts amb Vito Volterra: equacions de Lotka-Volterra), tant és així que, de vegades, l'equació es cita com a equació de Verhulst-Lotka. Actualment, per altra banda, l'estudi de l'equació logística és també un dels passos obligats per qui comença l'estudi dels sistemes dinàmics i fenòmens no lineals.
Els càlculs els vaig fer amb el programa DERIVE 6.1, un eina especialment encarada al càlcul amb funcions recursives. Les figures que he posat a sota mostren tres comportaments quant a la solució i el procés numèric recursiu per trobar-la els quals estan en funció del valor inicial de partida amb què es comença el procés recursiu i també, és clar, del valor del paràmetre d'estructura de l'equació. La primera mostra la presència d'un cicle al voltant d'un valor al qual no s'hi acaba d'arribar mai; la tercera, caos; i la sogona, una convergència estable. A sota podeu veure el programa escrit amb el llenguatge propi de DERIVE que consta d'una funció recursiva amb els corresponents arguments que figuren entre parèntesi, així com una mostra de com s'engega la funció amb el valor dels arguments. La funció es crida a ella mateixa n vegades, valor que entrem quan engeguem la funció, juntament amb el valor del paràmetre d'estructura a, i el valor inicial de x. |
martes, 23 de febrero de 2021
Els models matemàtics de Lotka-Volterra
lunes, 22 de febrero de 2021
Les piles de combustible ( piles d'hidrògen )
El hidrógeno y los motores eléctricos Hay dos maneras de utilizar el hidrógeno para obtener la energía que mueva el motor (de un vehículo, por ejemplo). Una de ellas, la más explosiva - nunca mejor dicho -, consiste en utilizar el hidrógeno (por ejemplo a partir del propergol) como combustible en un motor de combustión, además del oxígeno, claro, como comburente. Dichos motores son propios de cohetes para situar una nave espacial en órbita, no de otro tipo de vehículos. Son muchos los problemas de este tipo de motor, el principal es su peligrosidad por la posibilidad de explosionar el hidrógeno, su alto consumo de combustible y su alto nivel de ruido, principalmente su peligrosidad, puesto que además, una vez iniciada la reacción no se puede detener hasta haber agotado el combustible. Los motores eléctricos de pila de hidrógeno. La otra forma de utilizarlo, sin explosiones, sin gases contaminantes ni altas temperaturas, se basa en la obtención de una corriente eléctrica a partir de una reacción de oxidación-reducción que, como únicos reactivos, requiere hidrógeno y oxígeno. Dicha reacció proporciona energía eléctrica que luego, de forma ya muy conocida, se convierte en energía mecánica mediante un motor eléctrico. Muy probablemente los motores de combustión y los motores de explosión estén llamados a ir dejando paso a esta nueva generación de sistemas de propulsión. Así mismo, la pila de hidrógeno puede utilizarse para almacenar energía (química), facilmente convertible en eléctrico cuando la necesitemos; es por ello que en un futuro, posiblemente incluso llegue a sustituir las baterías convencionales, algunas de ellas muy contaminantes (por su contenido en metales pesados: niquel, cadmio, mercurio, plomo). Dichos dispositivos reciben nombres equivalentes: "pila de hidrógeno", "celdas de combustible", o "pilas de combustible", entre otras.  Una celda de combustible consiste básicamente en una membrana catalizadora (actualmente suele ser polímerica) conductora de protones (iones de hidrógeno cargados positivamente) que separa el ánodo del cátodo y hace las veces de electrolito. Para que esto funcione se necesita, como reactivos, hidrógeno y oxígeno (el contenido en el aire del ambiente). Los electrodos, ánodo y cátodo, a diferencia de los de una batería que reaccionan y cambina, en una pila de combustible son catalíticos - propician la reacción pero no intervienen en ella, luego, son, en principio, estables químicamente. En el lado del ánodo, el hidrógeno esparcido en el catalizador se disocia en protones y electrones. Los primeros van a parar al cátodo, a través de la membrana de polímero conductor que hace las veces de electrólito, y los electrones circulan por el circuïto externo (he aquí la corriente eléctrica que movera el motor (eléctrico, claro). Por otra parte, en el cátodo, los protones reaccionan con las moléculas de oxígeno del aire, dando como producto de la reacción vapor de agua y, claro, calor. El rendimiento de una pila de combustible que funcione con hidrógeno (70 ) suele ser más bajo que el de una batería convencional (90 ), pero las ventajas son evidentes (contaminación - por lo menos en cuanto a la reacción en sí se refiere - nula y motores más limpios y silenciosos). Cada pila (celda) de combustible crea una tensión de 0,8 V, aproximadamente. Por lo tanto se suelen agrupar en serie para obtener la tensión necesaria para mover un motor eléctrico. Hay muchas esperanzas depositadas en esta tecnología, en especial, atendiendo los efectos paliativos del cambio climático originado por las sociedades humanas tecnificadas. Cómo almacenar el hidrógeno en un vehículo ? Por supuesto, el almacenamiento del hidrógeno es uno de los procesos clave. El hidrógeno se encuentra en estado gaseoso en condiciones normales de presión y temperatura. Hasta ahora, se ha almacenado el hidrógeno licuado, con lo que, para ello se requiere muy alta presión. A bordo del vehículo, ello entraña peligro, coste y dificultades. Uno de los objetivos es precisamente coseguir almacenar el hidrógeno de forma que puedan evitarse estos importantes problemas. Ya de por sí, tal cosa sería inviable en determinados tipos de vehículos (un automovil o una pequeña embarcación, por ejemplo). Pero, hay otra forma de hacerlo: la adsorción de hidrógeno entre las moléculas de nuevos materiales (nanoporosos). Muchos equipos de investigación en Ciencias de Materiales están persiguiendo este objetivo. Se está investigando con materiales compuestos de carbón activado, zeolitas y arcillas apilaradas. Estos materiales cumplen cuatro requisitos: tienen resistencia mecánica y son seguros, además de ser ligeros y barato.  Se utilizaron ya las pilas de combustible en el proyecto Apolo (NASA) que llevó al ser humano a pisar la Luna hace ya casi 40 años (en concreto la pila AFC, acrónimo de "alkaline fuell cell", sin embargo, su auge se ha visto enlentecido por directrices económicas y políticas que gobiernan el mundo. Existen ya submarinos que están provistos de pilas de combustible y que les conceden una gran autonomia y habitabilidad. Visto como va todo en lo que se refiere a la necesidad de reducir las emisiones de dióxido de carbono a la atmosfera, parece probable que las celdas de combustible sustituirán también a las baterías convencionales en un futuro no muy lejano de forma generalizada, con lo cual se reducirá la contaminación por metales pesados (plomo, cadmio, mercurio ...), materiales que en las baterías y pilas convencionales se usan como electrodos y que, claro, se alteran químicamente. El hidrógeno puede obtenerse de la disociación de la molécula de agua, invirtiendo energía de otras fuentes; de ahí, por ejemplo, los paneles de células fotovoltaicas que haría las veces de "gasolinera" para las celdas de combustible al ayudar a suministrar la energía necesaria para romper las moléculas de agua e ir llenando así el depósito de hidrógeno. También se puede obtener el hidrógeno de otras moléculas que lo contengan - diesel, metanol, etcétera -, pero claro, en ese caso, hay otros productos de reacción, como por ejemplo, el dióxido de carbono. En cualquier caso, todo esto, amigos, tiene mucho futuro, especialmente, si pensamos en aplicarlo a los motores auxiliares de nuestros veleros. Queda, por supuesto, mucho camino por recorrer. |
domingo, 21 de febrero de 2021
El Sistema de Posicionamiento Global y la TGR
Mediante correcciones relativistas (teoría general de la relatividad) se pueden hacer las correcciones al sistema GPS debidas a la considerable velocidad de los satélites y la curvatura del continuo espacio-tiempo debida a la masa de la tierra: 48 microsegundos aproximadamente en las lecturas del reloj sincronizador. Cabe decir, sin embargo, que no hay que hacer estas correcciones si se utiliza el sistema GPSD (GPS diferencial, con el afinamiento que dan las estaciones de tierra).
Apunt biogràfic sobre Albert Einstein
El 1905 es produí l'annus mirabilis de la física teòrica del segle XX: Albert Einstein, un jove físic nascut el 1879 a Ulm (Alemanya), publicava cinc treballs de gran impacte. S'interessà de molt jove per la religió jueva, la religió dels seus pares, en la qual el van educar de forma força lliberal; ben aviat, però, desplaçà els seus interesos vers el món de la ciència i la filosofia, en especial, la Física. Mogut pel neguit d'entendre el món des que era ben menut, al setze anys va escriure el seu primer assaig científic sobre l'estat de l'eter en un camp magnètic . Hom coneix algunes de les seves afeccions en diversos moments de la seva vida: l'hi agradava navegar a vela i la música, tocava el violí i admirava la música de Haydin. Fou crític i conscient de la realitat política i social al llarg de tota la seva vida: les dues crisis del segle passat que varen precipitar en el drama de les dues grans guerres. El règim nazi el va obligar a fugir d'Europa. La tragèdia del llançament de les bombes nuclears sobre el Japó al final de la guerra, i les convulsions polítiques de post guerra que van fer que els EE.UU. i l'antiga U.R.S.S. s'armessin amb bombes nuclears amenaçant el planeta en el sentit més global: la guerra freda, van fer que Einstein se sentís especialment compromès contra l'armamentisme. Dissortadament, avui per avui, encara no s'ha resolt el problema de l'armament, ja sigui aquest nuclear, químic, biològic o convencional. A la dècada dels anys trenta i per causa del dificil clima polític i social que es vivia a Alemanya es va veure obligat a traslladar-se als EE.UU. de manera definitiva (1935) viatjant en secret primer a Bermudes i sol·licitant un visat de residènica als Estats Units. Els nazis van registrar la seva casa a Alemanya. Obtindria la ciutadania nordamericana el 1940, tot i que conservà la nacionalitat suïssa fins la seva mort. Des de 1933 va treballar a l'Institut d'Estudis Avançats a Princeton, (New Jersey, EE.UU). Residiria definitivament a Princeton. La seva segona i última muller, Elsa, moria el 1936 als seixanta anys d'edat. Einstein, no tornaria mai més a Alemanya. El 1939, el també físic Leo Szilard i d'altres li van demanar que comuniqués al president dels EE.UU. el temor sobre les investigacions al voltant de la fissió del nucli atòmic a Alemanya per raó de l'amenaça quan a l'armament militar que això comportava: escriuria la seva famosa carta a Franklin D. Roosevelt exposant-li la seva preocupació per les investigacions que al voltant d'això tenien lloc a alemanya en el sí del govern nazi. Deu anys després, nordamerica, havent acabat ja el conflicte bèlic a Europa, llençava les bombes nuclears sobre el Japó per intensificant així la tragèdia i donant-la per acabada. Einstein mai intervingué en el projecte Manhatan del govern nordamericà per desenvolupar les bombes, ans sempre s'oposà a la proliferació armamentísta (carta a Bertrand Russell, 1955). Tornem, però al començament. Va fer els seus primers estudis secundaris a Múnich però, abans d'acabar-los, la seva familia es traslladà a Pavía (Itàlia) per interessos laborals (1895). Va haver d'acabar els seus estudis de secundària a l'escola d'Aargau (Suïssa) per poder fer l'ingrès a l'Institut Tecnològic de Zúrich. Cursant ja els seus estudis superiors en aquesta prestigiosa institució, el famós Eidgenössische Technische Hochschule Zürich (ETH), Einstein coneix el que es convertiria en un dels seus millors amics, l'enginyer Michele Besso. S'interessa enormement per la filosofia, en especial per Kant i Espinoza, i juntament amb Besso i Konrad Habicht organitzava tertulies filosòfiques en els seus primers anys a l'ETH. Es graduà el 1897 i, havent renunciat a la nacionalitat alemanya i sent apàtrida durant uns anys, se li concedeix la nacionalitat suïssa el 1901. Al politècnic coneix també a d'altres amics com Marcel Grossman. El pare de Grossman, més endavant, l'ajudà a conseguir una feina a l'oficina de patents de Berna (Suïssa), període durant el qual, a banda de posar a punt els treballs de 1905, també desenvolupà alguns invents - aspecte menys conegut d'Einstein -, com ara un sistema de refrigeració, tot i que mai es va arribar a emprar, almenys fins els darrers anys que sí que s'ha fet servir per a la refrigeració de reactors nuclears. Tingué una amiga, Mileva Maric, l'única noia estudiant del seu curs, que ben aviat es convertiria en la seva primera muller (es casarien el 1903) i tingueren tres fills: una nena, Lieserl - que nasqué abans que Einstein comencés a treballar a l'oficina de patents de Berna (1902) i de la qual hom en desconeix detalls de la seva vida, tot i que els historiadors pensen que la parella l'havia donat en adopció donada la precària situació en que es trobaven durant els primers anys -, i dos nois, Eduard (que va morir el 1965) i Hans Albert (que va morir el 1973). Albert i Mileva es divorciarien el 1916. Mileva va morir a Zúrich el 1948. Tres anys després del seu divorci Albert Einstein es va tornar a casar, aquest cop amb la seva cosina Elsa Löwenthal. El 1905, es considera l'any miraculós de la Física, per la trascendència de cinc treballs que Albert Einstein publicà a la revista alemana Annalen der Physik compaginant aquesta tasca amb la seva feina a l'oficina de patents. Publicava aquell any de 1905 (Einstein tenia 26 anys), en un període de temps de menys d'una any apareixien publicats cinc treballs importantíssims. Tenint en compte que l'autor era encara un desconegut entre els especialistes, no deix de ser això mateix un event molt singular. No obstant això, la publicació dels treballs era la consecució de la meditació i del treball de més temps: amb anterioritat, entre 1902 i 1904, Einstein ja havia publicat uns quants treballs sobre mecànica estadística seguint els treballs de Boltzamann. Per un d'aquells treballs de 1905, concretament el que parla sobre l'efecte fotoelèctric, li varen concedir el premi Nobel 16 anys més tard, el 1921, tota vegada fou comprovada experimentalment l'explicació que Einstein donà: l'existència dels quantum de llum interactuant amb la matèria. No obstant això, la resta d'articles no són menys importants i, en aquells on estudia la interacció radiació-matèria, s'incideix en la mateixa idea, la de les partícules de llum. Un altre d'aquests treballs sobre l'electrodinàmica dels cossos en moviment exposa la teoria especial de la relativitat amb la qual, en un espai de quatre dimensions - la mesura del temps deixa de ser considerat com un invariant absolut ans al contrari, depenent de l'estat de moviment de l'observador - i fent ús de la transformació de Lorenz pogué explicar la invariància de la velocitat de la llum (que palesava l'experiment de Michelson-Morley) i superar els importants entrebancs que això comportava en tots els aspectes de la física on les velocitats dels objectes arriben a ser prou grans i la relativitat galileana (que és el de Newton) impedeix la comprensió dels efectes que s'observen. També cal esmentar un important treball sobre la difusió i el moviment brownià (el tema de la seva tesi doctoral), tot i que val a dir que, amb anterioritat, va intentar doctorar-se exposant la seva teoria de la relativitat especial com a tema de tesi, però acadèmicament li ho van desestimar. Cal remarcar que anys més tard, el 1907, complementaria el treball de la relativitat especial amb un altre on demostra l'equivalència entre matèria i energia com una conseqüència de la teoria de la relativitat especial; d'aquí ve la popular fòrmula E = mc2, equivalència que ja anunciava clarament en els treballs de 1905. Els treballs d'Einstein de 1905:
| La teoria especial de la relativitat no té en compte les masses (i, doncs, la intereacció gravitatòria), arrel de la seva idea de considerar que no es pot distingir la gravetat d'una acceleració del sistema de referència, el 1907 comença a desenvolupar la teoria de la general de la relativitat que acabaria el 1916 amb la publicació de "Fonaments de la teoria de la relativitat general", l'extensió natural de la teoria especial de la relativitat del 1905, amb la qual descriu la gravitació no pas com una força sino com una conseqüència de la deformació de l'espai-temps euclidià i tetradimensional que deformat per part de la massa d'un objecte dóna una geometria no euclidiana (Minkowsky): els "camins" que sorgeixen com a resultat dels càlcul descriuen - deguts a la interecció gravitatòria entre els objectes de massa no nul·la - representen les corbes geodèsiques de la superficie resultant. La teoria general de la relativitat és la més precisa que avui en dia es coneix sobre la interacció gravitatoria. Els càlculs de correcció relativista (en relació a la gravitació clàssica) s'apliquen en astronomia, astrofísica, els electrons en moviment en materials conductors i en astronàutica, per exemple, en el sistema de posició per satèl·lit GPS. A partir de la seva teoria de la gravitació (relativitat general), Einstein va fer aportacions sobre la noció d'univers físic (cosmologia) introduïnt en un principi la famosa i controvertida constant cosmològica per tenir en consideració el caràcter estàtic de l'univers (no expansiu); posteriorment, arrel dels treballs de l'astrònom Hubble que contràriament mostraven l'expansió - desplaçament espectral al vermell de les freqüències d'emisió de les gal·laxies -, va suprimir la famosa constant (1931). Avui en dia, s'observa que l'expansió desaccelera - degut potser a la misteriosa matèria fosca -. Tenia Einstein raó en les seva primera hipòtesi ?. El 1909 treballa a la universitat de Zúrich com a professor associat. Pocs anys després, el 1914, es trasllada a Alemanya i és professor de la universitat de Berlin i membre de l'Acadèmia Prusiana de les Ciències La seva important contribució a la mecànica quàntica a partir dels seus treballs sobre mecànica estadística potser és la menys coneguda pel gran públic (vegeu l'article del professor d'història de la ciència de la Universitat de Barcelona Luis Navarro Veguilla, publicat a Investigación y Ciencia, al número monogràfic de novembre de 2004): un dels seus grans encerts, del qual ens adonem en estudiar qualsevol manual de mecànica estadística - fou l'establiment del primer plantejament quàntic per a la mecànica estadística: l'estadística no clàssica de Bose-Einstein, predint el fenòmen de condesació de Bose-Einstein, el qual es comprovà més tard amb àtoms d'Heli a molt baixa temperatura, on els àtoms (dits, aquí, bossons) es comporten de forma coherent: tots com un de sol !. De fet, el treball d'Einstein fou constant en aquest camp ja desde bon començament del seu ofici. Cal recordar que el mateix any 1905, amb el treball sobre la radiació de cos negre, en el qual exposava la necessària existència de partícules de llum, més enllà de la discretització com a pura tècnica matemàtica per trobar una distribució de l'energia radiant enfront de les freqüències i que estigués d'acord amb els fets experimentals que havia fet servir Max Planck, donà un gran pas per assentar les concepcions de base de la física quàntica: la llum semblava tenir una naturales dual - insinuava en els seus treballs - i, efectivament, més endavant, amb els treballs de De Broglie, es convertiria en un postulat de la físca quàntica, i no solament per la llum, ans per tota partícula. D'una banda, s'adonava que la llum es comportava com una ona (cap problema segons la teoria electromagnètica de Maxwell) i d'altra, com un conjunt de partícules amb un ventall discret d'energia (vet aquí el tarannà quàntic) el qual, ja posava seriosos problemes a l'electromagnetisme clàssic per explicar-ho. Val a dir que, Einstein, abans dels treballs de De Broglie, i desde la seva persepectiva mecànico-estadística insinuava ja la també naturalesa dual de les partícules materials en els seus articles. Els quantum de llum vindrien a ser el que avui en dia coneixem per fotons. Amb els treballs d'Einstein sobre la interacció entre la radiació i la matèria, en particular sobre la radiació estimulada explicà d'una manera plenament satisfactoria la llei de la radiació de Planck, considerant un gas de fotons i aplicant l'estadística sugerida per Bose i desenvolupada per tots dos (estadística quàntica de Bose-Einstein). A més, amb el mecanisme d'estimulació, en un dels seus treballs (1917) posà les bases per tal que més endavant, es desenvolupés el que ara coneixem per llum laser, on tots els fotons van a una, de la mateixa manera que els àtoms d'Heli a baixa temperatura, uns i altres, al capdavall són bosons. En el desenvolupament, i moderna fonamentació de la mecànica quàntica (congrès de Solvay de 1927) i reeixida aplicació de la mecànica quàntica un cop establer el càlcul que li és propi i que fou desenvolupat per Heisenberg (mecànica basada een el càlcul amb matrius) i, d'una manera més eficaç, per Heisenberg (mecànica ondulatòria, basada en el càlcul amb equacions diferencials), Einstein romangué en una posició escèptica i crítica, malgrat les seves aportacions - importantíssimes - a la primera etapa històrica de la teoria. Einstein va discrepar profundament sobre la interpretació ortodoxa de l'edifici quàntic - defensada per Bohr -, que acabà sustentant-se sobre els pilars del principi d'incertesa (Heisenberg) i el càlcul de probabilitats (línia proposada per Born), tot entent la naturalesa de les previsions com a resultats estadístics. Això és el que a Einstein, convençut de la causalitat de les teories físiques, no li acabà d'agradar mai: deixar per "acabada" la mecànica quàntica sobre la concepció de l'atzar. Fins que esdevingué la seva mort, s'oposà a la renuncia del determinisme que proposava la fonamentació de la mecànica quàntica: (...) no crec que "el vell" jugui als daus [amb l'univers] (...) : així es manifestava en una carta d'Enstein a Born on feia referència a les seves conviccions deterministes sobre la inteligibilitat física de l'Univers. El mateix any 1935 que Einstein hagué d'embarcar cap a Bermudes fugint dels nazis publicava un famós article molt crític amb la interpretació ortodoxa de la mecànica quàntica amb col·laboració dels joves físics de Princeton Boris Poldolsky i Nathan Rosen on plantejaven la incompletesa de la teoria amb la coneguda paradoxa EPR, un dels seus famosos experiments imaginaris, els Gedanken-Experimente que apareixen sovint en tots els seus treballs. En aquest gedanken, recentment, hom s'ha centrat per aconseguir el transport quàntic d'informació, quelcom semblant, en clau de ciència ficció, al famós teletransport de les històries d'Star Trek. Com es pot comprovar, la mecànica quàntica no deixa de sorprendren's. Albert Einstein va morir el 1955 (a causa d'un greu problema circulatori). No es pot visitar la seva tomba ja que fou incinerat i les seves cendres esbarriades en algun lloc del riu Delaware, no obstant la seva memòria, com la de tots els grans pensadors, és i serà objecte de culte. Va morir perseguint el seu somni que no va poder veure complert: trobar una sola teoria que expliqués d'una forma única totes les interaccions fonamentals conegudes - publica el seu primer assaig sobre teoria unificada de camps el 1921 - i amb la qual pogués reinterpretar la mecànica quàntica mitjançant una teoria de variables ocultes que permetés no haver d'atorgar a l'atzar i a l'indeterminisme el paper de primer ordre que avui en dia sembla acceptat per la major part dels físics. La mecànica quàntica ha explicat amb èxit la física dels àtoms i molècules i ha servit de base per a les teories de camp de la física de partícules d'altes energies, tot i l'indeterminisme que sembla que li és inherent, funciona !. Deixant de banda l'atzar com a objecte d'anatema per part del gran físic, el somni d'Einstein de trobar una teoria unificada de totes les interaccions físiques - la interacció gravitatoria; l'electromagnètica i la interacció feble, ja unificades; i la interacció forta - continua sent el somni dels físics teòrics del nostre temps. L'aventura continua. |
sábado, 20 de febrero de 2021
L'oscil·lació del disc lunar
Com podeu veure a les imatges de les fases de la Lluna (video del Goddard Space Flight Center de la NASA), l'oscil·lació del disc lunar ( libració ) es produeix de dues maneres: (a) en la direcció oest-est (libració en longitud), i (b) en la direcció sud-nord (libració en latitud). Per què es produeixen aquestes oscil·lacions ?.
[ font: Goddard Space Flight Center ( NASA ) ]
En primer lloc, tinguem en compte que el període de rotació de la Lluna és el mateix que el de translació al voltant de la Terra; per això, el nostre satèl·lit presenta sempre la mateixa cara. No obstant això, en aquesta afirmació cal afegir alguns matisos/correccions o precisions que, com veurem a continuació, expliquen el fenomen.
En primer lloc, l'òrbita de translació de la Lluna ( al voltant de la Terra ) és el·líptica ( no pas circular ) i, doncs, la velocitat de translació no és la mateixa en tots el punts de l'òrbita; és més gran al perigeu ( quan es troba més propera a la Terra ) i més petita a l'apogeu ( punt més allunyat de la Terra), per tant, el sincronisme entre el moviment de rotació i el moviment de translació no és exacte; per altra banda, el pla equatorial de la Lluna està inclinat respecte al pla de l'eclíptica ( el pla orbital de la Terra al voltant del Sol). Aquestes dues circumstàncies donen al l'efecte d'oscil·lació del perfil de l'ombra de la Terra sobre el disc lunar.
Per bé que, si no consideréssim l'efecte de libració del disc lunar vist des de la Terra, caldria pensar que la Lluna només ens ensenya sempre la mateixa meitat de la seva superfície, cal rectificar en certa mesura l'afirmació que faríem si ignoréssim la libració ( " degut a l'efecte de libració del disc lunar, sí que ha de ser possible visualitzar més del 50% de la seva superfície" ): essent conscients d'aquests efectes d'oscil·lació de la imatge del disc lunar, haurem de concloure que ( degut a l'efecte de libració del disc lunar ) sí que ha de ser possible visualitzar més del 50% de la seva superfície. Es demostra que es pot veure un 59% de la seva superfície ( fent un conjunt complet d'observacions ).
Cal també tenir present que, a més a més, la Lluna no mostra el mateix aspecte ( orientació del perfil de l'ombra de la Terra ) vista des de qualsevol indret de la Terra; aquest aspecte depèn, de la latitud de l'observador.
Referències:
[1] J. Aloy, 100 Qüestions d'Astronomia. De les Fases de la Lluna a l'Energia Fosca., Edicions Cossetània, Valls, 2013
[2] Goddard Space Flight Center (NASA)
[ font: Goddard Space Flight Center ( NASA ) ]
En primer lloc, tinguem en compte que el període de rotació de la Lluna és el mateix que el de translació al voltant de la Terra; per això, el nostre satèl·lit presenta sempre la mateixa cara. No obstant això, en aquesta afirmació cal afegir alguns matisos/correccions o precisions que, com veurem a continuació, expliquen el fenomen.
En primer lloc, l'òrbita de translació de la Lluna ( al voltant de la Terra ) és el·líptica ( no pas circular ) i, doncs, la velocitat de translació no és la mateixa en tots el punts de l'òrbita; és més gran al perigeu ( quan es troba més propera a la Terra ) i més petita a l'apogeu ( punt més allunyat de la Terra), per tant, el sincronisme entre el moviment de rotació i el moviment de translació no és exacte; per altra banda, el pla equatorial de la Lluna està inclinat respecte al pla de l'eclíptica ( el pla orbital de la Terra al voltant del Sol). Aquestes dues circumstàncies donen al l'efecte d'oscil·lació del perfil de l'ombra de la Terra sobre el disc lunar.
Per bé que, si no consideréssim l'efecte de libració del disc lunar vist des de la Terra, caldria pensar que la Lluna només ens ensenya sempre la mateixa meitat de la seva superfície, cal rectificar en certa mesura l'afirmació que faríem si ignoréssim la libració ( " degut a l'efecte de libració del disc lunar, sí que ha de ser possible visualitzar més del 50% de la seva superfície" ): essent conscients d'aquests efectes d'oscil·lació de la imatge del disc lunar, haurem de concloure que ( degut a l'efecte de libració del disc lunar ) sí que ha de ser possible visualitzar més del 50% de la seva superfície. Es demostra que es pot veure un 59% de la seva superfície ( fent un conjunt complet d'observacions ).
Cal també tenir present que, a més a més, la Lluna no mostra el mateix aspecte ( orientació del perfil de l'ombra de la Terra ) vista des de qualsevol indret de la Terra; aquest aspecte depèn, de la latitud de l'observador.
Referències:
[1] J. Aloy, 100 Qüestions d'Astronomia. De les Fases de la Lluna a l'Energia Fosca., Edicions Cossetània, Valls, 2013
[2] Goddard Space Flight Center (NASA)
martes, 16 de febrero de 2021
Un trozo de cuerda reposa sobre una mesa, colgando una una parte del mismo ...
ENUNCIADO
Sobre una mesa reposa un trozo de cuerda ( de densidad lineal, $\delta$, homogénea ), de longitud $l$. Una parte de dicha cuerda cuelga por el borde de la mesa, formando la cuerda un ángulo recto con la arista/borde. El coeficiente de rozamiento de la mesa con la cuerda es $\mu$. Calcúlese la velocidad, $v$, de un punto de la cuerda cuando, en su caída, el extremo que reposaba sobre la mesa pasa por el borde.
SOLUCIÓN
Supondremos que la cuerda empieza a caer con velocidad inicial nula ( equilibrio ) y, por tanto, esto se produce para una cierta longitud del tramo que cuelga, que denominaremos $x_0$. Teniendo en cuenta el principio de conservación de la energía mecánica, y despreciando la pérdida por disipación de calor debida al roce de la cuerda con la mesa, el cambio de energía cinética, $\Delta\,K$, debe ser igual al trabajo realizado, $\Delta\,W$, por la fuerza activa que actúa sobre la cuerda y que da lugar al movimiento de la misma - desde que empieza el movimiento hasta la situación pedida en el enunciado - ( Teorema de las fuerzas vivas ), esto es, $$\Delta\,K=\Delta\,W$$ por tanto $$\dfrac{1}{2}\,m\,v^2-\dfrac{1}{2}\,m\cdot 0^2=\displaystyle \int_{x_0}^{l}\,F(x)\,dx$$ y como la masa, $m$, de la cuerda es $m=\delta\,l$, podemos escribir $$ \dfrac{1}{2}\,\delta\,l\,v^2=\displaystyle \int_{x_0}^{l}\,F(x)\,dx \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (1)$$
siendo $x$ la longitud de cuerda que cuelga por el borde en cada instante de tiempo
Calculemos el valor de $x_0$ imponiendo la condición de equilibrio: $$g\,(l-x_0)\,\delta\,\mu = x_0\,\delta\,g$$
y de aquí encontramos $$x_0=\dfrac{\mu}{\mu+1}\,l$$
Por otra parte, la función que describe la fuerza global que actúa sobre la cuerda para cada valor de $x$ es $$F(x)=\delta\,g\,x- \delta\,g\,\mu\,(l-x)$$ esto es $$F(x)=\delta\,g\,\left((\mu+1)\,x-\mu\,l\right)$$ Así, el segundo miembro de (1) es igual a $$\displaystyle \delta\,g\,\,\int_{\frac{\mu}{\mu+1}\,l}^{l}\,\left((\mu+1)\,x-\mu\,l\right)\,dx $$ y por, el Primer y el Segundo Teoremas Fundamentales del Cálculo, obtenemos como resultado de dicha integral definida $$\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\delta\,g\,l^2}{\mu+1}$$ por lo que la igualdad (1) nos queda $$\dfrac{1}{2}\,\delta\,l\,v^2=\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\delta\,g\,l^2}{\mu+1}$$ así que, despejando $v$, llegamos a $$v=\sqrt{\dfrac{g\,l}{\mu+1} }$$
Así, por ejemplo, si $\mu =0,8$ y $l=0,5\, \text{m}$, la longitud del trozo de cuerda que cuelga cuando empieza el movimiento ( posición de equilibrio ) es de $x_0=\dfrac{0,8}{0,8+1}\cdot 0,5 \approx 0,22 \, \text{m}$, y la velocidad de un punto de la cuerda cuando el extremo izquierdo de la misma abandona la mesa es igual a $\sqrt{\dfrac{9,81 \cdot 0,5}{0,8+1}} \approx 1,65\, \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$
$\square$
Sobre una mesa reposa un trozo de cuerda ( de densidad lineal, $\delta$, homogénea ), de longitud $l$. Una parte de dicha cuerda cuelga por el borde de la mesa, formando la cuerda un ángulo recto con la arista/borde. El coeficiente de rozamiento de la mesa con la cuerda es $\mu$. Calcúlese la velocidad, $v$, de un punto de la cuerda cuando, en su caída, el extremo que reposaba sobre la mesa pasa por el borde.
SOLUCIÓN
Supondremos que la cuerda empieza a caer con velocidad inicial nula ( equilibrio ) y, por tanto, esto se produce para una cierta longitud del tramo que cuelga, que denominaremos $x_0$. Teniendo en cuenta el principio de conservación de la energía mecánica, y despreciando la pérdida por disipación de calor debida al roce de la cuerda con la mesa, el cambio de energía cinética, $\Delta\,K$, debe ser igual al trabajo realizado, $\Delta\,W$, por la fuerza activa que actúa sobre la cuerda y que da lugar al movimiento de la misma - desde que empieza el movimiento hasta la situación pedida en el enunciado - ( Teorema de las fuerzas vivas ), esto es, $$\Delta\,K=\Delta\,W$$ por tanto $$\dfrac{1}{2}\,m\,v^2-\dfrac{1}{2}\,m\cdot 0^2=\displaystyle \int_{x_0}^{l}\,F(x)\,dx$$ y como la masa, $m$, de la cuerda es $m=\delta\,l$, podemos escribir $$ \dfrac{1}{2}\,\delta\,l\,v^2=\displaystyle \int_{x_0}^{l}\,F(x)\,dx \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (1)$$
siendo $x$ la longitud de cuerda que cuelga por el borde en cada instante de tiempo
Calculemos el valor de $x_0$ imponiendo la condición de equilibrio: $$g\,(l-x_0)\,\delta\,\mu = x_0\,\delta\,g$$
y de aquí encontramos $$x_0=\dfrac{\mu}{\mu+1}\,l$$
Por otra parte, la función que describe la fuerza global que actúa sobre la cuerda para cada valor de $x$ es $$F(x)=\delta\,g\,x- \delta\,g\,\mu\,(l-x)$$ esto es $$F(x)=\delta\,g\,\left((\mu+1)\,x-\mu\,l\right)$$ Así, el segundo miembro de (1) es igual a $$\displaystyle \delta\,g\,\,\int_{\frac{\mu}{\mu+1}\,l}^{l}\,\left((\mu+1)\,x-\mu\,l\right)\,dx $$ y por, el Primer y el Segundo Teoremas Fundamentales del Cálculo, obtenemos como resultado de dicha integral definida $$\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\delta\,g\,l^2}{\mu+1}$$ por lo que la igualdad (1) nos queda $$\dfrac{1}{2}\,\delta\,l\,v^2=\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\delta\,g\,l^2}{\mu+1}$$ así que, despejando $v$, llegamos a $$v=\sqrt{\dfrac{g\,l}{\mu+1} }$$
Así, por ejemplo, si $\mu =0,8$ y $l=0,5\, \text{m}$, la longitud del trozo de cuerda que cuelga cuando empieza el movimiento ( posición de equilibrio ) es de $x_0=\dfrac{0,8}{0,8+1}\cdot 0,5 \approx 0,22 \, \text{m}$, y la velocidad de un punto de la cuerda cuando el extremo izquierdo de la misma abandona la mesa es igual a $\sqrt{\dfrac{9,81 \cdot 0,5}{0,8+1}} \approx 1,65\, \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$
$\square$
lunes, 8 de febrero de 2021
Suscribirse a:
Entradas (Atom)