Els models matemàtics de Lotka-Volterra

A [1] i a [2] podeu llegir un parell d'articles introductoris sobre aquesta famosa equació que vaig escriure a mode de resum de les notes que vaig prendre i dels càlculs que vaig fer amb el programa DERIVE 6.1 quan vaig abordar el tema fent alguns exercicis, a partir de la lectura d'alguns llibres que es poden considerar com a clàssics en la matèria. L'equació logística (o funció logística) és una de les primeres equacions discretes on es va constatar la presència de caos determinista. L'equació expressa també un model clàssic de la dinàmica d'una població de creixement auto limitat en biologia matemàtica que va ser formulada per primera vegada per Pierre François Verhulst el 1838 i retrobada a posteriori per per Alfred J. Lotka (especialment conegut pels treballs conjunts amb Vito Volterra: equacions de Lotka-Volterra), tant és així que, de vegades, l'equació es cita com a equació de Verhulst-Lotka. Actualment, per altra banda, l'estudi de l'equació logística és també un dels passos obligats per qui comença l'estudi dels sistemes dinàmics i fenòmens no lineals. fotografia de Pierre. F. Verhulst. Crèdit:Wikipedia crèdits de la fotografia de Vito Volterra: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/BigPictures/Volterra_6.jpeg Els càlculs els vaig fer amb el programa DERIVE 6.1, un eina especialment encarada al càlcul amb funcions recursives. Les figures que he posat a sota mostren tres comportaments quant a la solució i el procés numèric recursiu per trobar-la els quals estan en funció del valor inicial de partida amb què es comença el procés recursiu i també, és clar, del valor del paràmetre d'estructura de l'equació. La primera mostra la presència d'un cicle al voltant d'un valor al qual no s'hi acaba d'arribar mai; la tercera, caos; i la sogona, una convergència estable. A sota podeu veure el programa escrit amb el llenguatge propi de DERIVE que consta d'una funció recursiva amb els corresponents arguments que figuren entre parèntesi, així com una mostra de com s'engega la funció amb el valor dels arguments. La funció es crida a ella mateixa n vegades, valor que entrem quan engeguem la funció, juntament amb el valor del paràmetre d'estructura a, i el valor inicial de x.