El plano inclinado como máquina simple en mecánica

No es lo mismo elevar un cuerpo de masa $m$ (sometida a la acción de la gravedad) a una altura $b$ (medida desde el suelo) a «fuerza de brazos», ejerciendo una fuerza igual al peso de dicho cuerpo: $f=m\cdot g$, que empujándola por un plano inclinado de pendiente $0\lt \dfrac{b}{a}$, donde $a$ representa la longitud del cateto horizontal y $b$ la del vertical del plano inclinado, empujándolo —como veremos enseguida— con una fuerza $f_{\ell} \lt f$. Una vez arriba —se utilice o no una máquina— la energía potencial de dicho cuerpo es $m\cdot g \cdot b$ (donde $g$ es la intensidad del campo gravitatorio), es decir, $f \cdot b$ . Esta cantidad de energía es la que se tendrá que emplear para subir el cuerpo (con o sin máquina).
    Al subirlo por el plano inclinado habrá que realizar un trabajo (debido a la fuerza con la que se empuja dicho cuerpo) igual a $f_{\ell} \cdot \ell$ (siendo $f_{\ell}$ la componente de la fuerza paralela al plano inclinado y $\ell=\sqrt{a^2+b^2}$ la longitud de camino recorrido al empujar el plano por la pendiente —suponiendo que, idealmente, no haya rozamiento en la superficie de contacto del plano con el cuerpo—. Como la energía empleada en empujar el cuerpo por el plano inclinado ha de ser igual a la energía potencial del cuerpo una vez arriba (conservación de la energía) tendremos que $$f_{\ell}\cdot \ell=f \cdot b$$ luego $$\dfrac{f}{f_{\ell}}=\dfrac{\ell}{b} \gt 1 \quad \text{habida cuenta de que} \quad \ell \gt b$$ Denominamos ventaja mecánica a la razón $\dfrac{f}{f_{\ell}}\gt 1$; y, de la igualdad anterior, desde luego también podemos escribir que $$\dfrac{f_{\ell}}{f}=\dfrac{b}{\ell} \lt 1$$ con lo cual cabe decir que el úso del plano inclinado permite elevar el cuerpo realizando una fuerza menor que la del peso $f$; en concreto, la fuerza que hay que realizar es $f_{\ell}=\mu\,f$, donde $\mu=\dfrac{b}{a}=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \lt 1$.
    Así, por ejemplo, con un plano de inclinación igual a $45^{\circ}$ (la longitud de $a$ es igual a la de $b$), $\mu=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+a^2}}=\dfrac{a}{a\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.71$, y podemos decir que la fuerza $f_{\ell}$ con la que hay que empujar el cuerpo por la rampa es un $71\,\%$ del peso del cuerpo, y que la ventaja mecánica de esta máquina simple (rampa) es $\dfrac{f}{f_{\ell}}=\sqrt{2}$. $\square$