Es éste un instrumento sencillo pero muy delicado que sirve para medir la masa de un objeto. Consta de un brazo del que cuelga un platillo en cada extremo y en el que se colocan las pesas (en uno de los platillos) y el objeto a pesar (en el otro platillo). En el centro de la balanza está el punto de equilibrio (denominado fiel) con una escala graduada para controlar su desviación; y, en los extremos, sendos tornillitos para realizar el ajuste a cero. Además, las balanzas de laboratorio con mayor sensibilidad disponen de un pequeño objeto que cabalga sobre uno de los brazos; dicha pieza, denominado por ello jinetillo, o reiter, se puede desplazar a lo largo de un pequeña parte del brazo en el que está montado y que corresponde al lado del cual se colocan las pesas, pudiendo medir este pequeño deplazamiento en una escala graduada en milímetros para realizar un ajuste preciso, de tal modo que cada milímetro corresponda a una alteración de $1$ miligramo.
Un primer método de pesada para determinar la masa $m$ de un objeto y su error de resolución $\Delta_m$, que denominaremos método de la pesada directa, consiste en colocar el objeto a medir en uno de los platillos y en el otro, en cuyo brazo está el reiter, las pesas para equilibrarlo. Entonces se tiene que la masa (expresada en gramos) viene dada por $m=m_0 \pm \Delta\,m_0$, donde $m_0=m_{\text{pesas+reiter}}$ y $\Delta\,m_0=0,001$ g, que es el error más pequeño que puede apreciarse con la ayuda del reiter. Dicho de otro modo, la el valor ideal (o verdadero) de la magnitud $m$, y que es aproximadamente igual al valor observado $m_0$, estará en el intervalo de error/incertidumbre $(m_0-\Delta\,m_0\,,\,m_0+\Delta\,m_0)$. Este método es poco preciso, pues no tiene en cuenta los defectos (asimetrías) de fabricación de la balanza, ni tampoco el valor de la masa a medir, que, como veremos a continuación con el método más preciso de la doble pesada, en principio, la resolución sí tiene una cierta dependencia con el valor de la masa que queremos medir.
Para mejorar el método anterior, C.F. Gauss ideó el método de la doble pesada, el cual consiste en pesar dos veces el objeto, intercambiando el lado en el que se coloca al realizar la segunda pesada, y utilizando la media geométrica (véase media geométrica en Wikipedia), que es apropiada para promediar en este tipo de situaciones. Así se obtendrán los valores $m_1$ y $m_2$ para dichas mediciones, por lo que el valor de la masa medida (expresada en gramos) corresponde al la media geométrica de los valores observados en las dos pesadas realizadas (intercambiando los lados) $$m_0=\sqrt{m_1\,m_2} \pm \Delta\,m_0$$ siendo ahora $$\Delta\,m_0= \dfrac{1}{2}\,\Delta_m \, \left( \sqrt{\dfrac{m_1}{m_2}}+\sqrt{\dfrac{m_2}{m_1}} \right)= \dfrac{1}{2}\cdot 0,001 \cdot \left( \sqrt{\dfrac{m_1}{m_2}}+\sqrt{\dfrac{m_2}{m_1}} \right)$$ expresión que obtenemos a partir de la difereciación de la función con dos variables $$f(m_1,m_2)=\sqrt{m_1\,m_2}$$ En efecto, de la diferencial total de $m_0\equiv f(m_1,m_2)$, $$df(m_1,m_2)=\frac{\partial f(m_1,m_2)}{\partial m_1}\,dm_1+\frac{\partial f(m_1,m_2)}{\partial m_2}\,dm_2$$ podemos escribir los incrementos finitos $$\Delta\,m_0=\left|\frac{\partial f(m_1,m_2)}{\partial m_1}\right|\,\Delta\,m_1+\left|\frac{\partial f(m_1,m_2)}{\partial m_2}\right|\,\Delta\,m_2$$ por tanto $$\Delta\,m_0=\dfrac{m_2}{2\,\sqrt{m_1\,m_2}}\,\Delta\,m_1+\dfrac{m_1}{2\,\sqrt{m_1\,m_2}}\,\Delta\,m_2$$ simplificando, y teniendo en cuenta que $\Delta\,m_1=\Delta\,m_2=0,001\,\text{g}$ $$\Delta\,m_0=\dfrac{1}{2}\,\left(\sqrt{\dfrac{m_2}{m_1}}\,\Delta\,m_1+\sqrt{\dfrac{m_1}{m_2}}\,\Delta\,m_2\right)$$ $$\Delta\,m_0=\dfrac{1}{2}\cdot 0,001\,\left(\sqrt{\dfrac{m_2}{m_1}}+\sqrt{\dfrac{m_1}{m_2}}\right)$$
Notemos que, en particular, si $m_1 - m_2 \ll 1 $, entonces $\Delta\,m_0 \approx 0,001$ g, que recupera el resultado con el método de la pesada directa.
$\square$Referencias:
[1] M.A. Hidalgo, J. Medina, Laboratorio de Física (Pearson Prentice Hall, Madrid, 2008).
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