Sistema de vectores. Propiedades de los momentos de dichos vectores

En este artículo expongo los resultados más importantes sobre teoría de momentos (de vectores), de enorme importancia en mecánica (estática y dinámica). Antes de abordar el estudio de manera comprensiva de esta importante parte de la Física, es esencial haber consolidado este tipo de conocimientos fundamentales sobre vectores.

Nota preliminar. En lo que sigue, trataremos con vectores libres —vectores con la misma dirección, sentido, y longitud, sin importar el punto de origen de los mismos—, y, también (cuando se indique), con vectores deslizantes: vectores equivalentes en dirección, sentido, y longitud, siendo el origen de cada uno de ellos cualquier punto que pertenezca a una recta dada que tenga su misma dirección, a la que denominaremos recta de soporte.

Definición 1 (Momento de un vector deslizante). Se define el momento referido a un punto $O$ de un vector $\vec{f}$ cuyo origen es un punto $P$ de su recta de soporte como $\vec{N}:=\vec{r}\times \vec{v}$, donde $r$ es el vector de posición de $P$ con respecto a $O$.

Proposición 1 (Invariancia del momento de un vector deslizante). Si se traslada el vector $\vec{f}$ a lo largo de su recta de soporte hasta otro punto de la misma $P'$ —el vector trasladado es equivalente al original (por deslizamiento) por estar en su misma recta de soporte—, se tiene que el momento (con respecto a $O$) del vector $\vec{f}$ en el punto $P'$ es el mismo que el momento de $\vec{f}$ en el punto $P$.

  Demostración. Siendo $\vec{r'}$ el vector de posición de $P'$ con respecto de $O$ se tiene que $\vec{r}=\vec{r'}-\overset{\rightarrow}{PP'}$, luego, según su definición, $\vec{N}:=\vec{r}\times \vec{f}=(\vec{r'}-\overset{\rightarrow}{PP'})\times \vec{f}=\vec{r'}\times \vec{v} -\overset{\rightarrow}{PP'}\times \vec{f}\overset{(1)} {=}\vec{r'}\times \vec{f}=\vec{N'}$. $\diamond$
  Nota (1): $\overset{\rightarrow}{PP'} \parallel \vec{f} \Rightarrow \overset{\rightarrow}{PP'}\times \vec{f}=\vec{0}$

Definición 2 (Sistema de vectores concurrentes en un punto $P$). Dado un conjunto de vectores $\vec{f}_i$ ($i\div n$) libres, podemos representarlos por el vector resultate $\vec{R}:=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\,\vec{f}_i$ en el punto $P$

Proposición 2 (Teorema de Varignon). El momento (con respecto a un punto $O$) de un sistema de vectores concurrentes (en un punto $P$) es igual a la suma de los momentos de cada uno de dichos vectores

  Demostración. Escribiendo el momento del vector resultante del conjunto de vectores concurrentes en el punto $P$, $\vec{R}$, con respecto de un punto $O$, se tiene que $$\vec{N}:=\vec{r}\times \vec{R}=\displaystyle \vec{r}\times \sum_{i=1}^{n}\,\vec{f}_i=\sum_{i=1}^{n}\,\vec{r}\times \vec{f}_i=\sum_{i=1}^{n}\,\vec{N}_i \quad \diamond$$

Corolario 2.1. Si se elige el punto $O$ (con respecto al que calculamos los momentos) de manera que esté sobre la recta de soporte de la resultante $\vec{R}$, entonces $\vec{N}=\vec{0}$.

  Demostración. Como, ahora, $\vec{r} \parallel \vec{R}$, se tiene que $\vec{r} \times \vec{R}=\vec{0}\quad \diamond$.

Definición 3 (Momento $N_e$ de un vector $\vec{v}$ con respecto a un eje $e$). Recordemos que el momento de $\vec{v}$ con respecto de un punto $P$ es $$\vec{N}_P:=\vec{r}_P \times \vec{v}=\left|\begin{matrix} \vec{i}&u_\vec{j}&\vec{k}\\ x_P-x_O& y_P-y_O& z_P-z_O\\ v_{x}& v_{y}& v_{z} \end{matrix}\right|$$ donde $\{\vec{i},\vec{j}\,\vec{k}\}$ son los vectores de la base canónica el espacio afín euclídeo $\mathbb{R}^3$ y $O=(x_O,y_O,z_O)$ es el origen del sistema de referencia.

A partir de ahí, entendemos el momento de dicho vector $\vec{v}$ con respecto a una recta (eje), $e$, que contenga al punto $P$ como la cantidad escalar dada por el producto escalar $N_e:=\vec{N}_P \cdot \vec{u}_e$ donde $\vec{u}_e$ es un vector unitario de $e$; esto es, como la proyección del momento $\vec{N}_P$ sobre dicha recta o eje: $N_e=\text{Proy}_{e}\,(\vec{N}_P$)

Proposición 3.1 (Invariancia del momento axial con respecto al punto $P$). El momento $N_e$ respecto a un eje dado $e$ de un vector $\vec{v}$ es invariante con respecto a la elección del punto $P$ del eje $e$.

  Demostración. Elijamos cualquier otro punto del eje $e$, $Q$, que sea distinto de $P$; entonces $N_e:=\vec{N}_{Q}\cdot \vec{u}_e=(\vec{r}_{Q}\times \vec{v})\cdot \vec{u}_e=(\vec{r}_{P}+\overset{\rightarrow}{PQ})\times \vec{v}) \cdot \vec{u}_e=(\vec{r}_{P}\times \vec{v})\cdot \vec{u}_e+(\overset{\rightarrow}{PQ}\times \vec{v})\cdot \vec{u}_e$, donde el segundo sumando es $0$ puesto que al ser $\overset{\rightarrow}{PQ} \parallel \vec{u}_e$ se tiene que $(\overset{\rightarrow}{PQ} \times \vec{v}) \perp \vec{u}_e$; y, por otra parte, el paréntesis del primer sumando corresponde a la definición de $\vec{N}_P$, con lo cual queda probado que $N_e=\vec{N}_{Q}\cdot \vec{u}_e=\vec{N}_{P}\cdot \vec{u}_e$. $\diamond$

Algunas consecuencias interesantes acerca de en qué condiciones se anula el momento $N_e$ con respecto a un eje $e$

Teniendo en cuenta que la definición de $N_e$ corresponde a la de un producto mixto, y recordemos que $P$ designa un punto genérico de $e$. Por definición: $$N_e:=(\vec{r}_P \times \vec{v})\cdot \vec{u}_e = \vec{u}_e \cdot (\vec{r}_P \times \vec{v})\equiv [\vec{u}_e,\vec{r}_P,\vec{v}]$$ Sabemos que, como tal, y por sus propiedades: $$N_e=\displaystyle [\vec{u}_e,\vec{r}_P,\vec{v}]=\left|\begin{matrix} u_{e_{x}}&u_{e_{y}}&u_{e_{z}}\\ r_{P_{x}}& r_{P_{y}}& r_{P_{z}}\\ v_{x}& v_{y}& v_{z} \end{matrix}\right|\overset{(1)}{=}\vec{u}_e \cdot (\vec{r}_P \times \vec{v}) \overset{(2)}{=}\vec{v} \cdot (\vec{u}_e \times \vec{r}_P) \overset{(3)}{=} \vec{r}_P \cdot (\vec{v} \times \vec{u}_e)$$

Por consiguiente:

1. Si $\vec{r}_P \parallel \vec{v}$, entonces $N_e=0$
2. Si $\vec{r}_P \parallel \vec{u}_e$, entonces $N_e=0$
3. Si $\vec{v} \parallel \vec{u}_e$, entonces $N_e=0$
4. Si alguno de los vectores $\{\vec{u}_e,\vec{r}_P,\vec{v}\}$ es $\vec{0}$, entonces (obviamente) $N_e=0$
5. De (1) se deduce que si el eje $e$ es tal que $\vec{u}_e \perp (\vec{r}_P \times \vec{v})$ y, por tanto, si el eje está en el mismo plano que $\vec{r}_P$ y $\vec{v}$, entonces $N_e=0$
6. De (2) se deduce que si $\vec{v} \perp (\vec{r}_P \times \vec{u}_e)$ y, por tanto, si el vector $\vec{v}$ está en el mismo plano que $\vec{r}_P$ y el eje, entonces $N_e=0$
7. De (3) se deduce que si $\vec{r}_P \perp (\vec{v} \times \vec{u}_e)$ y, por tanto, si $\vec{r}_P$ está en el mismo plano que $\vec{v}$ y $\vec{u}_e$, entonces $N_e=0$

-oOo-

Referencias:
[1] J.M. Vidal, Curso de Física (Grafesa, Barcelona, 1972).
[2] J. Fernández, M. Pujal, Iniciación a la Física (Reverté, Barcelona, 1992).
[3] S. Burbano, et al., Física General (Tébar, Madrid, 2007).
[4] K.R. Symon, Mecánica (Aguilar, Madrid, 1977).
[5] J.B. Marion, Dinámica clásica de las partículas y sistemas (Reverté, Barcelona, 1998).
[6] vv. aa., Producte mixt (https://ca.wikipedia.org/wiki/Producte_mixt).