El brillo de los astros (intensidad luminosa que se percibe de los mismos) se clasifica mediante una escala numérica desde los tiempos de Hiparco de Nicea (190 a.C.-120 c.), quien también fue el primero en establecer un catálogo de estrellas —además de ser el introductor de la trigonometría (plana y esférica) y de las referencias de posición en la superficie de la Tierra mediante meridianos y paralelos—. Hiparco estableció la magnitud $1$ (el cero no se utilizaba en aquellos tiempos) para el Sol, y asignó números enteros cada vez más grandes conforme el brillo de los otros astros observables fuese menor. Hiparco categorizó las estrellas visibles a ojo desnudo en seis categorías: las de primera magnitud eran las más brillantes, y las de sexta las menos brillantes.La escala de magnitudes de Hiparco se ha ido modificando para poder incluir muchos más astros de los que se podía observar a ojo desnudo en la antigüedad, hasta introducir escalas logarítmicas y distinguir entre la magnitud aparente de un astro, que no tiene en cuenta la distancia a la que se encuentra del observador, y la magnitud absoluta del mismo, que sí tiene en cuenta la distancia que le separa del observador.
Magnitud aparente de un astro
Al observar el brillo de los astros, si suponemos que todos los astros están a la misma distancia del observador (en nuestro caso, en la Tierra) —todos los astros en la esfera celeste, como se hacía en la antigüedad—, cosa que, obviamente, no es así, estaremos describiendo lo que entendemos por magnitud aparente de un astro.
En la escala actual, las magnitudes son números reales —y, por tanto, caben también en su cuantía los números decimales—, ya sean éstos positivos, negativos o incluso cero —por ejemplo, la estrella Aldebarán tiene una magnitud comprendida entre cero y uno—: a los astros más brillantes se les asignan números negativos (el Sol tiene una magnitud aproximada de $-26.5$); y, a los menos brillantes, números mayores, hasta abarcar los apenas perceptibles, a los que se les asigna números enteros positivos grandes.
Se ha establecido la escala de magnitudes aparentes de tal modo un astro de magnitud $i\in \mathbb{Z}$ es $\sqrt[5]{100}=10^{2/5} \approx 2.512$ veces más brillantes que un astro de magnitud $(i+1)\in \mathbb{Z}$; y, esto, para cualquier número entero $i$. De esta forma, se tiene que
los valores enteros de la escala de magnitudes son los términos de una sucesión geométrica de razón $10^{2/5}$. Teniendo en cuenta ésto, y, además, el hecho de que la magnitud aparente, $m$, decrece conforme al aumento de brillo $B$, podemos escribir que $$(10^{2/5})^{m} \propto B^{-1}$$ Consideremos ahora un astro, $S_1$, de magnitud $m_1$ y otro astro, $S_2$, de magnitud $m_2$, entonces:
$$(10^{2/5})^{m_1}=10^{2\,m_{1}/5} \propto B_{1}^{-1} \quad \quad (1)$$
$$(10^{2/5})^{m_2}=10^{2\,m_{2}/5} \propto B_{1}^{-1} \quad \quad (2)$$
Dividiendo (2) entre (1), se tiene que
$$10^{2\,(m_{2}-m_{1})/5}= \dfrac{B_{1}}{B_{2}} \quad \quad (3)$$
expresión cuya validez podemos extender al conjunto de los números reales, pues, así podemos cuantificar magnitudes (también) con números decimales. Extrayendo logaritmos decimales en los dos miembros de esta igualdad,
$$\log_{10}\,10^{2\,(m_{2}-m_{1})/5}= \log_{10}\,\left(\dfrac{B_{1}}{B_{2}}\right) $$ y por tanto
$$\dfrac{2}{5}\,(m_{2}-m_{1})= \log_{10}\,\left(\dfrac{B_{1}}{B_{2}}\right)$$
y por tanto,
$$m_{2}-m_{1}=\dfrac{5}{2} \cdot \log_{10}\,\left(\dfrac{B_{1}}{B_{2}}\right) \quad \quad (4)$$
Magnitud absoluta de un astro
Si bien, al definir la magnitud aparente de un astro, hemos considerado que éste se encuentra en la esfera celeste (al igual que los demás astros), vamos a corregir esto, que es falso —dos estrellas que no estén a la misma distancia del observador pueden tener sin embargo la misma magnitud aparente, y esta circunstancia debe ser tenida en cuenta, introduciendo el concepto de magnitud absoluta de dicho astro, que denotaremos por $M$. Haremos esto teniendo presente que el brillo de un astro es inversamente proporcional al cuadro de la distancia (al observador) —denotamos por $d$ a dicha distancia—, esto es, para nuestros dos astros (véase lo anterior), que, no tienen por qué estar a la misma distancia del observador, se tiene que $B_1 \propto \dfrac{1}{d_{1}^2}$ y $B_2 \propto \dfrac{1}{d_{2}^2}$, por lo que la expresión (4) se transforma ahora en
$$m_{2}-m_{1}=\dfrac{5}{2} \cdot \log_{10}\,\left(\dfrac{d_{2}}{d_{1}}\right)^2 = 2\cdot \dfrac{5}{2} \cdot \log_{10}\,\left(\dfrac{d_{2}}{d_{1}}\right)$$ y, en consecuencia, llegamos a
$$m_{2}-m_{1}=5 \cdot \log_{10}\,\left(\dfrac{d_{2}}{d_{1}}\right) \quad \quad (5)$$
Notemos que si $d_1=d_2$, entonces, de la expresión anterior, $m_2-m_1=0$ y por tanto $m_1=m_2$, como debe ser.
Por otra parte, si se conoce la distancia a un cierto astro (patrón), $S_P$, (que denotamos por $d_P$) y del cual se conoce su magnitud aparente, $m_P$, de la expresión (5) podemos calcular la distancia a un cierto astro, $S^*$ —suponiendo que la distancia al observador de las dos estrellas no sea la misma — del cual se ha medido su magnitud aparente, $m^*$, puede calcularse la distancia a la que se encuentra, ya que, de (5):
$m^{*}-m_{P}=5 \cdot \log_{10}\,\left(\dfrac{d^{*}}{d_{P}}\right)$ y, despejando, $d^*$, calculamos dicha distancia (expresada en pársecs ($\text{pc}$): $$\displaystyle d^*=d_P\cdot 10^{(m^*-m_P)/5}$$ que es lo mismo que $$\displaystyle d^*=d_P\cdot \sqrt[5]{10^{m^*-m_P}}\quad \quad (6)$$
Definición
Consideremos ahora un sólo astro. Conviniendo que la magnitud absoluta, $M$, de un astro
que diste $10$ pársecs del observador —el pársec (unidad de longitud empleada en astronomía) se define como la distancia por paralaje correspondiente a $1$ segundo de arco; $1$ pársec (pc) $=206\,265$ unidades astronómica (ua) = $3,2616$ años luz; $1$ ua = $149\,597\,870\,700$ m $\approx$ distancia Tierra-Sol— se corresponde con una magnitud aparente, $m$, entonces, a partir de (5), podemos escribir:
$$M-m=5 \cdot \log_{10}\,\left(\dfrac{10}{d}\right) \quad \quad (7)$$
Obsérvese que si la distancia al astro es $d=10\,\text{pc}$, entonces $M-m=0$ y por tanto $M=m$, como debe ser.
Partiendo de (6), podemos escribir también que
$$M-m=5 \cdot ( \log_{10}\,10-\log_{10}\,d)=5\,(1-\log_{10}\,d)$$
o, lo que es lo mismo
$$M-m=5-5\,\log_{10}\,d \quad \quad (8)$$
con lo cual, al comparar dos astros, $S_1$ y $S_2$, se tiene que
$$M_2-M_1=m_2-m_1+5\,\log_{10}\,(d_1-d_2) \quad \quad (9)$$
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Referencias:
[1] R.M. Ros Ferré, El cielo nocturno, RBA coleccionables S.A.U., National Geographic and Yellow Border, Barcelona, 2017.
[2] vv.aa., Magnitud estelar absoluta, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_absoluta], 2022.
[3] vv.aa., Hiparco de Nicea, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Hiparco_de_Nicea], 2022.
[4] vv.aa., Paralaje, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Paralaje], 2022.
[5] vv.aa., Sistema astronómico de unidades, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_astronómico_de_unidades, 2022.
[6] vv.aa., Intensidad luminosa, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Intensidad_luminosa, 2022.
], 2022.
