Ecuaciones de un cohete de varias etapas

En un artículo anterior expuse el problema de un cohete de una sola etapa como un sistema de masa variable [https://blogdef1s1ca.blogspot.com/2023/08/acerca-de-las-ecuaciones-del-movimiento.html]. Para tratar el problema de un cohete de varias etapas, será necesario establecer los tiempos en los que transcurren cada una de ellas a partir del combustible que se ha gastado en cada una de ellas, actualizando los datos de masa en la etapa actual; para ello, habrá que ir restando de la masa inicial la masa del combustible gastado en la etapa anterior, así como la masa del contenedor de combustible (de dicha etapa anterior) que se ha de desprender. Las ecuaciones de masa variable son las mismas que las expuestas en el artículo referido, pero actualizando los datos con lo que acabo de decir.

Estimación de la energía necesaria para poner en órbita una nave

Consideremos una nave que, idealmente, pudiese ponerse en órbita circular alrededor de la Tierra en una única etapa, sin tener en cuenta la masa del propelente y de sus contenedores, lo que, desde luego, supone una aproximación muy alejada de la realidad, pero que, sin embargo, permite entender el modo de proceder utilizando el principio de conservación de la energía, como vamos a ver enseguida. ¿Cómo podemos estimar (dada la idealización del problema) la cantidad de energía que se debería gastar para hacerlo?

Partiendo de la superficie de la Tierra a velocidad nula, hasta situarse en una órbita (circular) de radio $x+R_T$ deberá ser la diferencia entre la energía mecánica total (suma de la energía potencial y cinética) entre la situación inicial y la situación final: $\Delta\,E=E_f-E_i$; y, teniendo en cuenta que $E_i=-G\,\dfrac{M\,m}{R_T}$ (la nave despega a velocidad inicial nula, por lo que la energía cinética inicial es nula) y $E_f=-G\,\dfrac{M\,m}{R_T\,+x}+\dfrac{1}{2}\,m\,v^2$, donde $v$ representa la velocidad a la que se mueve la nave, siguiendo la órbita circular.

Como, una vez en órbita, la fuerza centrífuga que experimenta la nave ha de ser igual a la fuerza con la que es atraída por la Tierra, se tiene que $\dfrac{m\,v^2}{R_T+x}=G\,\dfrac{m\,M}{(R_T+x)^2}$ y, por tanto, $v^2=\dfrac{G\,M}{R_T+x}$ ($G$ es la constante de gravitación universal: $G=6,672 \times 10^{-11}\, \dfrac{\text{N}\,\text{m}^2}{\text{kg}^2}$), por lo que se llega a $$\Delta\,E=\left( -G\,\dfrac{M\,m}{R_T\,+x}+\dfrac{1}{2}\,m\cdot \dfrac{G\,M}{R_T+x} \right)-\left( -G\,\dfrac{M\,m}{R_T}\right)=G\,m\,M\,\left( \dfrac{2x+R_T}{2\,R_T\,(R_T+x)}\right)$$

$\diamond$