Conservación de la energía mecánica total y del momento angular en una órbita elíptica

Consieremos una cuerpo de masa $m$ en órbita elíptica alrededor de otro cuerpo de masa $M$. Conociendo las distancias del satélite al planeta en el afelio, $r_A$, y en el perihelio, $r_P$, ¿cómo se podría calcular el módulo de las velocidad en cada uno de esos dos puntos?

Teniendo en cuenta que, en ausencia de fuerzas disipativas, se debe conservar la energía mecánica, $E_t=E_{c_{A}}+U_A=E_{c_{P}}+U_P=\text{constante}$, y que, tratándose de fuerzas centrales (el vector de posición en cada punto de la órbita es antiparalelo a la fuerza de atracción gravitatoria hacia), resulta que el momento de la fuerza gravitatoria en cualquier punto de la órbita es nulo, con lo cual, por el teorema de conservación del momento angular, éste es el mismo en todos los puntos de la órbita; así que en el afelio y el perihelio puede escribirse la correspodiente igualdad $\vec{r}_{A}\times m\,\vec{v}_{A}=\vec{r}_{P}\times m\,\vec{v}_{P}$, donde además, en dichos puntos de la órbita en particular, tanto $\measuredangle\,(\vec{r}_A,\vec{v}_{A})$ como $\measuredangle\,(\vec{r}_P,\vec{v}_{P})$ son ángulos rectos, con lo cual, la igualdad entre los módulos de los momentos angulares en esos puntos es $m\,r\,v_A\,\sin(\pi/2)=m\,r\,v_P\,\sin(\pi/2)$, es decir, $m\,r\,v_A=m\,r\,v_P$, ya que $\sin(\pi/2)=1$. Así, podemos escribir el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: $$\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{2}\,m\,v_{A}^{2}-G\,\dfrac{m\,M}{r_A}=\dfrac{1}{2}\,m\,v_{P}^{2}-G\,\dfrac{m\,M}{r_P}\\ m\,r_A\,v_A=m\,r_P\,v_P\end{matrix}\right.$$ y, simplificando, $$\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{2}\,v_{A}^{2}-G\,\dfrac{M}{r_A}=\dfrac{1}{2}\,v_{P}^{2}-G\,\dfrac{M}{r_P}\\ r_A\,v_A=r_P\,v_P\end{matrix}\right.$$ de donde podemos despejar $v_{A}$ y $v_{P}$, conociendo el resto de cantidades.

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Estimación de la energía necesaria para poner en órbita una nave

Consideremos una nave que, idealmente, pudiese ponerse en órbita circular alrededor de la Tierra en una única etapa, sin tener en cuenta la masa del propelente y de sus contenedores, lo que, desde luego, supone una aproximación muy alejada de la realidad, pero que, sin embargo, permite entender el modo de proceder utilizando el principio de conservación de la energía, como vamos a ver enseguida. ¿Cómo podemos estimar (dada la idealización del problema) la cantidad de energía que se debería gastar para hacerlo?

Partiendo de la superficie de la Tierra a velocidad nula, hasta situarse en una órbita (circular) de radio $x+R_T$ deberá ser la diferencia entre la energía mecánica total (suma de la energía potencial y cinética) entre la situación inicial y la situación final: $\Delta\,E=E_f-E_i$; y, teniendo en cuenta que $E_i=-G\,\dfrac{M\,m}{R_T}$ (la nave despega a velocidad inicial nula, por lo que la energía cinética inicial es nula) y $E_f=-G\,\dfrac{M\,m}{R_T\,+x}+\dfrac{1}{2}\,m\,v^2$, donde $v$ representa la velocidad a la que se mueve la nave, siguiendo la órbita circular.

Como, una vez en órbita, la fuerza centrífuga que experimenta la nave ha de ser igual a la fuerza con la que es atraída por la Tierra, se tiene que $\dfrac{m\,v^2}{R_T+x}=G\,\dfrac{m\,M}{(R_T+x)^2}$ y, por tanto, $v^2=\dfrac{G\,M}{R_T+x}$ ($G$ es la constante de gravitación universal: $G=6,672 \times 10^{-11}\, \dfrac{\text{N}\,\text{m}^2}{\text{kg}^2}$), por lo que se llega a $$\Delta\,E=\left( -G\,\dfrac{M\,m}{R_T\,+x}+\dfrac{1}{2}\,m\cdot \dfrac{G\,M}{R_T+x} \right)-\left( -G\,\dfrac{M\,m}{R_T}\right)=G\,m\,M\,\left( \dfrac{2x+R_T}{2\,R_T\,(R_T+x)}\right)$$

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Cálculo de la velocidad de escape (de un cierto planeta, de masa $M$) a la que, como velocidad inicial, debe lanzarse un cuerpo de masa $m$ nde d

Consideremos un cuerpo de masa $m$ que se lanza desde la superficie de un cierto planeta (de masa $M$) a una cierta velocidad inicial $v_e$. ¿Cómo podemos calcular dicha velocidad para que el cuerpo pueda escapar de la atracción gravitatoria del planeta?.

Tengamos en cuenta que no se trata del lanzamiento de un cohete (que parten con una velocidad inicial nula), sino que la situación corresponde más bien al lanzamiento de una bala de cañón, como en la famosa novela de Julio Verne, De la Tierra a la Luna.

Suponemos que el estado final del cuerpo (proyectil) es la de llegar a distancia infinita (energía potencial igual a cero) alcanzando entonces un estado de resposo, a velocidad nula (energía cinética final igual a cero); siendo por tanto entonces su energía mecánica igual a cero. Por el teorema de conservación de la energía mecánica, $$E_{\text{mecánica inicial}}=E_{\text{mecánica final}}$$ Entonces, como $E_{\text{mecánica inicial}}=-G\dfrac{M\,m}{R}+\dfrac{1}{2}\,m\,v_{e}^2$ y $E_{\text{mecánica final}}=0$, podemos escribir $$-G\dfrac{M\,m}{R}+\dfrac{1}{2}\,m\,v_{e}^2=0 \Rightarrow v_e=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$$ Nota: A la vista del resultado, es importante remarcar que la velocidad de escape no depende de la masa del cuerpo que se lance.

Así, por ejemplo, en el caso de la Tierra, $M_T=5,9722 × 10^{24}\,\text{kg}$ y $R_T=6,378\times 10^{6}\,\text{m}$, y teniendo en cuenta que la constante gravitacional universal es $G=6,67\times 10^{-11}\,\dfrac{\text{N}\,\text{m}^2}{\text{kg}^2}$, la velocidad de escape es $v_e\approx 1,118 \times 10^4\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}=11,18\,\dfrac{\text{km}}{s}.\;\diamond$