Conservación de la energía mecánica total y del momento angular en una órbita elíptica

Consieremos una cuerpo de masa $m$ en órbita elíptica alrededor de otro cuerpo de masa $M$. Conociendo las distancias del satélite al planeta en el afelio, $r_A$, y en el perihelio, $r_P$, ¿cómo se podría calcular el módulo de las velocidad en cada uno de esos dos puntos?

Teniendo en cuenta que, en ausencia de fuerzas disipativas, se debe conservar la energía mecánica, $E_t=E_{c_{A}}+U_A=E_{c_{P}}+U_P=\text{constante}$, y que, tratándose de fuerzas centrales (el vector de posición en cada punto de la órbita es antiparalelo a la fuerza de atracción gravitatoria hacia), resulta que el momento de la fuerza gravitatoria en cualquier punto de la órbita es nulo, con lo cual, por el teorema de conservación del momento angular, éste es el mismo en todos los puntos de la órbita; así que en el afelio y el perihelio puede escribirse la correspodiente igualdad $\vec{r}_{A}\times m\,\vec{v}_{A}=\vec{r}_{P}\times m\,\vec{v}_{P}$, donde además, en dichos puntos de la órbita en particular, tanto $\measuredangle\,(\vec{r}_A,\vec{v}_{A})$ como $\measuredangle\,(\vec{r}_P,\vec{v}_{P})$ son ángulos rectos, con lo cual, la igualdad entre los módulos de los momentos angulares en esos puntos es $m\,r\,v_A\,\sin(\pi/2)=m\,r\,v_P\,\sin(\pi/2)$, es decir, $m\,r\,v_A=m\,r\,v_P$, ya que $\sin(\pi/2)=1$. Así, podemos escribir el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: $$\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{2}\,m\,v_{A}^{2}-G\,\dfrac{m\,M}{r_A}=\dfrac{1}{2}\,m\,v_{P}^{2}-G\,\dfrac{m\,M}{r_P}\\ m\,r_A\,v_A=m\,r_P\,v_P\end{matrix}\right.$$ y, simplificando, $$\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{2}\,v_{A}^{2}-G\,\dfrac{M}{r_A}=\dfrac{1}{2}\,v_{P}^{2}-G\,\dfrac{M}{r_P}\\ r_A\,v_A=r_P\,v_P\end{matrix}\right.$$ de donde podemos despejar $v_{A}$ y $v_{P}$, conociendo el resto de cantidades.

$\diamond$