Energía mecánica total de un satélite en órbita circular

Consideremos un satelite, de masa $m$, que sigue una órbita circular, de radio $r$, alrededor de un planeta de masa $M$. ¿Cuál es su energía mecánica total?

La energía mecánica total, $E_t$, es la suma de la e. cinética, $E_c=\dfrac{1}{2}\,m\,v^2$, y la e. potencial $U=-G\, \dfrac{m\,M}{r}$: $E_t=E_c+U$. Así pues,

$$E_t=\dfrac{1}{2}\,m\,v^2+\left(-G\, \dfrac{m\,M}{r}\right) \quad(1)$$ Por otra parte, la compensación entre la fuerza gravitatoria y la fuerza centrífuga mantiene al satélite en órbita, por lo que podemos escribir que $G\,\dfrac{m\,M}{r^2}=m\,\dfrac{v^2}{r}$, que, simplificando, nos queda $G\,\dfrac{m\,M}{r}=m\,v^2$, luego, de ahí, $\dfrac{1}{2}\,m\,v^2 = \dfrac{1}{2}\,G\,\dfrac{m\,M}{r}$, expresión que, al sustituirla en $(1)$, nos permite encontrar la energía mecánica pedida: $$E_t= \dfrac{1}{2}\,G\,\dfrac{m\,M}{r} - G\, \dfrac{m\,M}{r} = - \dfrac{1}{2}\,G\, \dfrac{m\,M}{r}\lt 0$$ Observemos que la energía mecánica total es negativa, habida cuenta de que la órbita es cerrada (el cuerpo de masa $m$ está atrapado por la gravedad del de masa $M$).

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