Un ejemplo de cálculo del potencial eléctrico y del campo eléctrico creado por dos cargas eléctricas en un punto dado

En el punto $A(2,0,0)$ se sitúa una carga eléctrica $Q_A=1\,\text{C}$ y en el punto $B(0,2,0)$ una carga eléctrica $Q_B=-1\,\text{C}$. Las distancias vienen expresadas en metros. Voy a calcular el vector campo eléctrico, su módulo, y el potencial creado por estas cargas en el punto $P(2,0,0)$. Finalmente, consideremos una carga testigo situada en $P$, pongamos que un electrón. ¿Qué fuerza experimenta?

Cálculo del potencial en $P$: El potencial creado por la carga $Q_A$ en el punto $P$ es igual a $V_P(Q_A)=K\,\dfrac{Q_A}{d_{AP}}$ y el creado por la carga $Q_B$ en $P$ es $V_P(Q_A)=K\,\dfrac{Q_B}{d_{BP}}$, y por el principio de superposición, el potencial total en $P$ es igual a $V_P=V_P(Q_A)+V_P(Q_B)$, luego $V_P=K\,\dfrac{Q_A}{d_{AP}}+K\,\dfrac{Q_B}{d_{BP}}$, siendo $K$ la constante de Coulomb $K\approx 9\times 10^9\,\dfrac{\text{N}·\text{m}^2}{\text{C}^2}$; y, en cuanto a las distancias: $d_{AP}:=\left\|\overset{\rightarrow}{AP}\right\|=\sqrt{(x_P-x_A)^2+(y_P-y_A)^2+(z_P-z_A)^2}=\sqrt{(2-0)^2+(0-0)^2+(0-0)^2}=2\,\text{m}$ y $d_{BP}:=\left\|\overset{\rightarrow}{BP}\right\|=\sqrt{(x_P-x_B)^2+(y_P-y_B)^2+(z_P-z_B)^2}=\sqrt{(2-0)^2+(0-2)^2+(0-0)^2}=2\,\sqrt{2}\,\text{m}$ Sustituyendo ahora todos los datos, obtenemos: $V_P=9\times 10^9\cdot\left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{(-1)}{2\,\sqrt{2}}\right)\approx 10^9\,\text{V}$

Cálculo del campo eléctrico en $P$: El campo creado por la carga $Q_A$ en el punto $P$ es igual a $\vec{E}_P(Q_A)=K\,\dfrac{Q_A}{d_{AP}^2}\,\hat{u}_{AP}$, siendo $\hat{u}_{AP}$ el vector unitario en la dirección y sentido de $A$ a $P$, luego $\hat{u}_{AP}=\dfrac{\overset{\rightarrow}{AP}}{d_{AP}}$. Por otra parte, el campo creado por la carga $Q_B$ en el punto $P$ es igual a $\vec{E}_P(Q_B)=K\,\dfrac{Q_B}{d_{BP}^2}\,\hat{u}_{BP}$, siendo $\hat{u}_{BP}$ el vector unitario en la dirección y sentido de $A$ a $P$, luego $\hat{u}_{BP}=\dfrac{\overset{\rightarrow}{BP}}{d_{BP}}$. Como el campo total en $P$ es la suma de esos dos campos, $\vec{E}_P=\vec{E}_P(Q_A)+\vec{E}_P(Q_B)$, se tiene que $\vec{E}_P=K\,\dfrac{Q_A}{d_{AP}^3}\,\overset{\rightarrow}{AP}+K\,\dfrac{Q_N}{d_{BP}^3}\,\overset{\rightarrow}{BP}$, donde $\overset{\rightarrow}{AP}=\overset{\rightarrow}{OP}-\overset{\rightarrow}{OA}=2\,\hat{i}$ y $\overset{\rightarrow}{BP}=\overset{\rightarrow}{OP}-\overset{\rightarrow}{OB}=2\,\hat{i}-2\,\hat{j}$, siendo $\hat{i}=(1,0,0)$, $\hat{j}=(0,1,0)$ y $\hat{k}=(0,0,1)$ los vectores de la base canónica del espacio euclídeo.

Entonces, sustituyendo todos los datos: $\vec{E}_P=K\cdot \left( \dfrac{1}{2^3}\,\cdot 2\,\hat{i}+\dfrac{(-1)}{(2\,\sqrt{2})^3}\cdot 2\,(\hat{i}-\hat{j})\right)=\dfrac{9\times 10^9}{8\,\sqrt{2}}\cdot \left( (2\,\sqrt{2}-1)\,\hat{i}+\hat{j}\right)\approx 10^9\,\hat{i}+10^9\,\hat{j}$ donde las coordenadas de dicho vector vienen expresadas en $\dfrac{\text{V}}{\text{m}}$; así pues, el módulo del vector campo eléctrico, con las aproximaciones decimales realizadas es igual a $\left\|\vec{E}_P\right\|=\sqrt{(10^9)^2+(10^9)^2}=10^9\,\,\dfrac{\text{V}}{\text{m}}$

Al situar un electrón —la carga del electrón es $Q_{P}(e)=-1.6\times 10^{-19}\,\text{C}$— en el punto $P$, el campo creado por las cargas $Q_A$ y $Q_B$ en ese punto actúa sobre la carga testigo con una fuerza igual a $\vec{F}=Q_{e}\,\vec{E}_P=-1.6\times 10^{-19}\cdot (10^9\,\hat{i}+10^9\,\hat{j})=-1.6 \times 10^{-10}\,(\hat{i}+\hat{j})$, y cuyo módulo es igual a $\left\|\vec{F}\right\|=1.6\times 10^{-10}\cdot (\sqrt{1^2+1^2+0^2})=1.6\cdot \sqrt{2}\times 10^{-10} \approx 2.3 \times 10^{-10}\,\text{N}$

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