Un ejemplo de conservación del momento angular

Imaginemos un cilindro macizo de radio $r_1$ y masa $m_1$ que gira a una velocidad angular $\omega_{1_{i}}$, sin que actúen fuerzas externas. Mientras está girando, se le une, lateralmente, otro cilindro de radio $r_2$ y masa $m_2$, inicialmente sin movimiento giratorio ($\omega_{2_{i}}=0$), compartiendo ahora el mismo eje de rotación con el primero, girando el conjunto solidariamente. ¿Cuál será la velocidad de giro final del conjunto, $\omega_f$, tras dicho acoplamiento?

El momento angular inicial es $L_i=I_1\,\omega_{1_{i}}+I_2\,\omega_{2_{i}}=I_1\,\omega_{1_{i}}+I_2\cdot 0=I_1\,\omega_{1_{i}}$, donde $I_1$ e $I_2$ son los respectivos momentos de inercia, con respecto al eje de giro común.

El momento angular final es $L_f=I_1\,\omega_{1_{f}}+I_2\,\omega_{2_{f}}=(I_1+I_2)\,\omega_f$, y al estar el sistema aislado, el momento angular se conserva: $L_i=L_f$, con lo cual $I_1\,\omega_{1_{i}}=(I_1+I_2)\,\omega_f$; en consecuencia, $\omega_f=\dfrac{I_1}{I_1+I_2}\,\omega_{1_{i}} \quad (1)$. Por otra parte, el momento de inercia de un cilindro macizo con respecto del eje de giro que pasa por su centro es $I=\dfrac{1}{2}\,m\,r^2$, luego $I_1=\dfrac{1}{2}\,m_1\,r_{1}^{2}$ y $I_2=\dfrac{1}{2}\,m_2\,r_{2}^{2}$, lo cual permite expresar $(1)$ en función de los radios y de las masas de los cilindros: $\omega_f=\dfrac{\frac{1}{2}\,m_{1}\,r_{1}^2}{\frac{1}{2}\,m_{1}\,r_{1}^2+\frac{1}{2}\,m_{2}\,r_{2}^2}\,\omega_{1_{i}}=\dfrac{m_{1}\,r_{1}^2}{m_{1}\,r_{1}^2+m_{2}\,r_{2}^2}\,\omega_{1_{i}}$. Teniendo en cuenta que $m_{1}\,r_{1}^2 \lt m_{1}\,r_{1}^2+m_{2}\,r_{2}^2$, se tiene que $\dfrac{m_{1}\,r_{1}^2}{m_{1}\,r_{1}^2+m_{2}\,r_{2}^2} \lt 1$, luego $\omega_f \lt \omega_i$, como podríamos esperar antes de comenzar a resolver el problema.

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