Satélites que observan el mismo punto de la superfície de la Tierra un cierto número de veces al día

¿A qué altura debemos situar un satélite (en órbita circular) de tal manera que la velocidad angular de giro del satélite (alrededor de la Tierra) sea igual a $3\,\dfrac{\text{vueltas}}{\text{día terrestre}}$

Una vez en órbita, la fuerza de atracción de la Tierra tiene que ser igual a la fuerza centrípeta del satélite: $G\,\dfrac{M\,m}{r^2}=m\,\omega^2\,r$, donde $G=6,67 \times 10^{-11}\, \dfrac{\text{N}\,\text{m}^2}{\text{kg}^2}$ es la constante de gravitación, $r$ es la altura de la órbita circular, $M$ es la masa de la Tierra ($5,97 \times 10^{24}\,\text{kg}$), $m$ la del satélite, y $w$ la velocidad angular de la Tierra en su giro sobre su eje de rotación. Simplificando, podemos escribir: $G\,\dfrac{M}{r^2}=\omega^2\,r \Rightarrow r^3=\dfrac{G\,M}{\omega^2} \Rightarrow r=\sqrt[3]{\dfrac{G\,M}{\omega^2}} \quad (1)$; ésta sería la altura a la que deberíamos situar el satélite para que su velocidad angular fuese igual a $\omega=1\,\dfrac{\text{vuelta}}{\text{día terrestre}}$, esto es, igual a la propia velocidad de giro de la Tierra sobre su eje. Nota: Este tipo de satélites reciben el nombre de estacionarios, pues si imaginamos una línea que pasé por dicho satélite y el centro de la Tierra, ésta interseca la superfície siempre en el mismo punto.

Para que el satélite esté sobre la vertical de un mismo punto de la superficie de la Tierra $3$ veces al día, su velocidad angular orbital ha de ser igual a $3\,\omega$, luego el radio de dicha órbita (denotémosle por $r'$) será igual (de acuerdo con $(1)$) a $r'=\sqrt[3]{\dfrac{G\,M}{(3\,\omega)^2}} \quad (2)$

Como el período de rotación de la Tierra sobre su eje es igual a $T=1\,\text{día}\cdot \dfrac{24\,\text{h}}{\text{día}}\cdot \dfrac{3600\,\text{s}}{\text{h}}=86\,400\,\text{s}$, se tiene que dicha velocidad angular, en radianes, es $\omega=\dfrac{2\,\pi}{T}=\dfrac{2\,\pi}{86\,400}\,\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$, por lo que, de $(2)$, llegamos a $r'=\sqrt[3]{\dfrac{6,67 \times 10^{-11}\cdot 5,97 \times 10^{24}}{(3\cdot \dfrac{2\,\pi}{86\,400})^2}} = 20\,300\,581\,\text{m}\approx 20,\,301\,\text{km}$. Y, como el radio de la Tierra es de $6\,371\,\text{km}$, la altura a la que debe situarse el satélite sobre la superficie de la Tierra (sobre el nivel medio del mar) es igual a $20,\,301 - 6\,371 = 13\,930\,\text{km}$

$\diamond$