Cálculo de la velocidad de escape (de un cierto planeta, de masa $M$) a la que, como velocidad inicial, debe lanzarse un cuerpo de masa $m$ nde d

Consideremos un cuerpo de masa $m$ que se lanza desde la superficie de un cierto planeta (de masa $M$) a una cierta velocidad inicial $v_e$. ¿Cómo podemos calcular dicha velocidad para que el cuerpo pueda escapar de la atracción gravitatoria del planeta?.

Tengamos en cuenta que no se trata del lanzamiento de un cohete (que parten con una velocidad inicial nula), sino que la situación corresponde más bien al lanzamiento de una bala de cañón, como en la famosa novela de Julio Verne, De la Tierra a la Luna.

Suponemos que el estado final del cuerpo (proyectil) es la de llegar a distancia infinita (energía potencial igual a cero) alcanzando entonces un estado de resposo, a velocidad nula (energía cinética final igual a cero); siendo por tanto entonces su energía mecánica igual a cero. Por el teorema de conservación de la energía mecánica, $$E_{\text{mecánica inicial}}=E_{\text{mecánica final}}$$ Entonces, como $E_{\text{mecánica inicial}}=-G\dfrac{M\,m}{R}+\dfrac{1}{2}\,m\,v_{e}^2$ y $E_{\text{mecánica final}}=0$, podemos escribir $$-G\dfrac{M\,m}{R}+\dfrac{1}{2}\,m\,v_{e}^2=0 \Rightarrow v_e=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$$ Nota: A la vista del resultado, es importante remarcar que la velocidad de escape no depende de la masa del cuerpo que se lance.

Así, por ejemplo, en el caso de la Tierra, $M_T=5,9722 × 10^{24}\,\text{kg}$ y $R_T=6,378\times 10^{6}\,\text{m}$, y teniendo en cuenta que la constante gravitacional universal es $G=6,67\times 10^{-11}\,\dfrac{\text{N}\,\text{m}^2}{\text{kg}^2}$, la velocidad de escape es $v_e\approx 1,118 \times 10^4\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}=11,18\,\dfrac{\text{km}}{s}.\;\diamond$