Energía mecánica en órbitas circulares

Consideremos un satélite de masa $m$ en una órbita circular, de radio $r$, alrededor de un planeta de masa $M$, ¿cómo podemos calcular la energía mecánica en cualquier punto de la órbita?

La energía mecánica, $E_m$, es la suma de la energía cinética, $E_{c}=\dfrac{1}{2}\,m\,v^2$ ($v$ es el módulo de la velocidad del satélite, y tiene el mismo valor en cualquier punto de la órbita circular), y de la energía potencial, $U=-G\,\dfrac{m\,M}{r}$. En ausencia de fuerzas disipativas, la energía mecánica se conserva, esto es, es la misma en cualquier punto de la órbita.

Por la segunda ley de Newton, se tiene que en cualquier punto de la órbita: $G\,\dfrac{m\,M}{r^2}=m\,\dfrac{v^2}{r}$, luego $m\,v^2=G\,\dfrac{m\,M}{r}$, por lo que la energía cinética puede expresarse de la forma $E_{c}= G\,\dfrac{m\,M}{2\,r}$. Pues bien, así, podemos escribir la energía mecánica como: $$E_m:=U+E_c=-G\,\dfrac{m\,M}{r}+G\,\dfrac{m\,M}{2\,r}=-G\,\dfrac{m\,M}{2\,r}\lt 0$$ El que esta cantidad sea negativo se explica por el hecho de que la órbita es cerrada.

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Observación 1:
Si variamos la altura del satélite, la energía mecánica de las respectivas órbitas es función del opuesto del inverso de la altura de la órbita; su gráfica corresponde a una hipérbola:

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Observación 2:
Por otra parte, el trabajo necesario, $W$, esto es, la cantidad de energía con la que debe contarse para poner en órbita un satélite, ha de ser igual a la diferencia entre la energía mecánica en la órbita en la que se le quiera situar y la energía mecánica del satélite en el punto de lanzamiento del planeta (antes del lanzamiento): $W=E_{m_{\text{final}}}-E_{m_{\text{inicial}}}=-G\,\dfrac{m\,M}{2\,r}- \left(-G\,\dfrac{m\,M}{r_P}+0\right) =G\,\dfrac{m\,M}{r_P}- G\,\dfrac{m\,M}{2\,r} = G\,m\,M\cdot \left( \dfrac{1}{r_P}-\dfrac{1}{r}\right) \gt 0$, ya que, como $r\gt r_P$ (siendo $r_P$ el radio de la superficie del planeta, en el punto de lanzamiento), $\dfrac{1}{r_P} \gt \dfrac{1}{r}$ y, por tanto, $\dfrac{1}{r_P} - \dfrac{1}{r}\gt 0$. Por consiguiente, cuánto menor sea la altura de la órbita menor es la energía que deberemos suministrar en el lanzamiento para que el satélite alcance dicha órbita.

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Nota (velocidad de escape):
En particular, si se desea lanzar desde un planeta un cuerpo a velocidad de escape, como la energía mecánica final es $0$, el trabajo (la cantidad de energía que debemos suministrar) que hay que realizar es —ojo, que, desde luego, en este problema, la velocidad inicial no es cero—: $$W=E_{m_{\text{final}}}-E_{m_{\text{inicial}}}=0-\left( -G\,\dfrac{m\,M}{r_P}+\dfrac{1}{2}\,m\,v_{e}^2 \right)$$ de donde, despejando la velocidad (de escape) se obtiene que ésta ha de ser igual a $$v_e=\sqrt{\dfrac{2\,G\,M}{r_P}}$$ En vista de lo cual, es muy importante remarcar que la velocidad de escape de un cuerpo no depende de su masa.

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Cálculo de la velocidad de escape (de un cierto planeta, de masa $M$) a la que, como velocidad inicial, debe lanzarse un cuerpo de masa $m$ nde d

Consideremos un cuerpo de masa $m$ que se lanza desde la superficie de un cierto planeta (de masa $M$) a una cierta velocidad inicial $v_e$. ¿Cómo podemos calcular dicha velocidad para que el cuerpo pueda escapar de la atracción gravitatoria del planeta?.

Tengamos en cuenta que no se trata del lanzamiento de un cohete (que parten con una velocidad inicial nula), sino que la situación corresponde más bien al lanzamiento de una bala de cañón, como en la famosa novela de Julio Verne, De la Tierra a la Luna.

Suponemos que el estado final del cuerpo (proyectil) es la de llegar a distancia infinita (energía potencial igual a cero) alcanzando entonces un estado de resposo, a velocidad nula (energía cinética final igual a cero); siendo por tanto entonces su energía mecánica igual a cero. Por el teorema de conservación de la energía mecánica, $$E_{\text{mecánica inicial}}=E_{\text{mecánica final}}$$ Entonces, como $E_{\text{mecánica inicial}}=-G\dfrac{M\,m}{R}+\dfrac{1}{2}\,m\,v_{e}^2$ y $E_{\text{mecánica final}}=0$, podemos escribir $$-G\dfrac{M\,m}{R}+\dfrac{1}{2}\,m\,v_{e}^2=0 \Rightarrow v_e=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$$ Nota: A la vista del resultado, es importante remarcar que la velocidad de escape no depende de la masa del cuerpo que se lance.

Así, por ejemplo, en el caso de la Tierra, $M_T=5,9722 × 10^{24}\,\text{kg}$ y $R_T=6,378\times 10^{6}\,\text{m}$, y teniendo en cuenta que la constante gravitacional universal es $G=6,67\times 10^{-11}\,\dfrac{\text{N}\,\text{m}^2}{\text{kg}^2}$, la velocidad de escape es $v_e\approx 1,118 \times 10^4\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}=11,18\,\dfrac{\text{km}}{s}.\;\diamond$