Un montañero A está encordado con su compañero B. La cordada descendía por una pendiente de nieve dura de un glaciar que forma un ángulo $\theta$ con el plano horizontal, yendo B delante y A en última posición, manteniendo la cuerda sin comba; pero, inesperadamente, B ha caído en una grieta. Su compañero, instantáneamente ha iniciado la maniobra de autodetención. Nos preguntamos cuál la aceleración del movimiento de caída de la cordada antes de que A detenga la caída, la fuerza con la que deberá detener a su compañero y, también, cuál es la tensión de la cuerda.
Para simplificar las cosas, supondremos que podemos despreciar el rozamiento. Despreciaremos la masa de la cuerda, con lo cual, a pesar de que la distancia de A al borde de la grieta sea en principio distinta a la de ésta a B, la tensión en la cuerda será por tanto la misma en todos los puntos de ella.
Analicemos la situación en el subsistema de A. Para ello descomponemos las fuerzas según el eje en la dirección y sentido del movimiento de caída y en su dirección perpendicular (normal al suelo), para aplicar la segunda ley de Newton en esas dos direcciones. En la dirección normal al suelo, en la que no hay movimiento, la fuerza normal de reacción del suelo, $N$, se compensa con la componente del peso de A perpendicular al suelo, $m_A\,g\,\cos(\theta)$, así que no vamos a obtener la información pedida por lo que respecta a ese eje de coordenadas al aplicar la segunda ley de Newton; en cambio, sí que la obtendremos al aplicarla sobre las componentes que actúan en la dirección del eje del movimiento: la componente del peso del montañero en esa dirección, $m_A\,g\sin(\theta)$, la tensión de la cuerda $T$ (cuyo sentido apunta hacia el borde de la grieta), y la fuerza asociada a la aceleración, $m_A\,a$: $$m_A\,g\cdot \sin(\theta)+T=m_A\,a \quad (1)$$
Por otra parte, analicemos el subsistema de B (el montañero que, habiendo caído en la grieta, cuelga de la cuerda). Aplicando la segunda ley de Newton (la tensión de la cuerda apunta hacia arriba, hacia el borde de la grieta): $$m_B\,g-T=m_B\,a \quad (2)$$
Las ecuaciones (1) y (2) constituyen un sistema de ecuaciones lineales, cuyas incógnitas son $T$ y $a$. Resolviéndolo sin dificultad alguna obtenemos: $$a=g\,\dfrac{m_A\,\sin(\theta)+m_B}{m_A+m_B} \quad (3)$$ y $$T=\dfrac{m_A\,m_B\,g}{m_A+m_B}\,(1-\sin(\theta)\quad (4)$$
La fuerza de detención, $F_d$, con la que A deberá parar la caída de la cordada ha de contrarrestar por tanto a la fuerza que experimenta A, por lo tanto, teniendo en cuenta (3), $$F_d=a\cdot m_A=m_A\cdot g\,\dfrac{m_{A}\,\sin(\theta)+m_B}{m_A+m_B}=g\,\dfrac{m_{A}^{2}\,\sin(\theta)+m_A\,m_B}{m_A+m_B} \quad (5)$$
Veámos un ejemplo: Supongamos que $m_A=80\,\text{kg}$, $m_B=70\,\text{kg}$ y $\theta=30^\circ$. Aproximaremos el valor de la intensidad del campo gravitatorio de la Tierra, tomando $g=10\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Entonces, sustituyendo estos datos en (3), $$a=10\cdot \dfrac{80\,\sin(30^\circ)+70}{80+70}\approx 7\, \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$$ en (4), $$T=\dfrac{80\cdot 70\cdot 10}{80+70}\,(1-\dfrac{1}{2}) \approx 187 \, \text{N}$$ y en (5), $$F_d=10\cdot \dfrac{80^{2}\cdot \dfrac{1}{2}+80\cdot 70}{80+70} \approx 587\,\text{N}$$
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