Analicemos el siguiente supuesto: Un montañero sube por una pendiente de nieve dura que forma un ángulo $\theta$ con el plano horizontal, y en un cierto momento, se cae. Supondremos que el rozamiento con el suelo es despreciable. Calculemos cuál es la fuerza con la que debe sujetar su piolet, habiendo adopatado instantáneamente la posición básica de autodetención. Como veremos, a partir de los resultados que obtendremos, es muy importante (crucial) realizar las autodetenciones en el menor tiempo posible; a ser posible, de manera instantánea. Para ello, es importante llevar bien el piolet, con el pico hacia el valle, para minimizar el tiempo de preparación del mismo para efectuar la autodetención.
Si descomponemos la el peso del montañero en la dirección normal (perpendicular) al plano inclinidado y en la dirección de caída, es claro que la componente normal se ve equilibrada por reacción del suelo (no hay movimiento en la dirección perpendicular al plano inclinado) y la componente en la dirección de la caída es $m\,g\,\sin\,(\theta)$. Entonces, ésta será también la fuerza de anclaje, $F_a$, con la que tendrá que sujetar su piolet cuyo pico ha podido claver instantánemente en la nieve dura, para no deslizar pendiente abajo.
Pongamos ahora unos cuántos números. Vamos a suponer que el montañero tiene una masa $m=80\, \text{kg}$ y que el ángulo que forma la rampa de nieve es $\theta=30^{\circ}$. Tomaremos el valor $g\approx 10\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$, para la intensidad del campo gravitatorio. Entonces, $F_a = 80\cdot 10\cdot \sin (30^\circ)=400\,\text{N}$.
Supongamos ahora, que nuestro montañero no se ha autodetenido instantáneamente, sino que ha tardado unos segundos a efectuar el inicio de la maniobra de autodetención, pongamos que $3 \,\text{s}$. Durante esos tres segundos habrá descendido por la rampa con el movimiento uniformemente acelerado que estamos tratando, siendo por tanto su aceleración $a=g\,\sin(\theta)=10\cdot \sin(30^\circ)=5 \,\dfrac{\text{m}}{s^2}$. Ya sabemos calcular la longitud recorrida en cada instante de tiempo es $s(t)=s_0+v_0\,t+\dfrac{1}{2}\,a\,t^2$, y como situamos el origen de longitudes en la posición que se inicia la caída, $s_0=0\,\text{m}$ y la velocidad inicial en el momento de empezar a caer es nula, y $v_0=0\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$, la longitud recorrida en la cáida durante esos tres segundoses igual a $s(3)=\dfrac{1}{2}\,(g\,\sin(\theta))\,t^2=\dfrac{1}{2}\cdot (10 \cdot \sin(30^\circ))\cdot 3^2 \approx 23\,\text{m}$. Démonos cuenta de que, a pesar del breve tiempo que nos puedan parecer estos tres segundos, la longitud de la caída no es baladí. Veremos que la velocidad adquirida tampoco lo es.
Nos preguntamos ahora cuál es la velocidad a la que descendía en el momento de iniciar la autodetención (al actuar sobre el pico de su piolet en la posición de autodetención, pasados los tres primeros segundos). Bien, podemos calcularla de varias maneras; una de ellas consiste en la aplicación del principio de conservación de la energía mecánica: la energía potencial en el punto en el que se cae -situamos el origen de potencial gravitatorio en el punto en el que se detendrá- más la energía cinética en ese punto, que es nula, ha de ser igual a la energía cinética que ha adquirido en el punto en el que se ha autodetenido más la energía potencial en él (que es cero, como ya hemos explicado): $$E_{\text{mecánica total}}=m\cdot g\cdot (s\cdot \sin(\theta))+0=\dfrac{1}{2}\,m\,v^2+0=\text{constante}$$ luego $$v^2=\dfrac{2\,m\,g\,(s\cdot\sin(\theta))}{m}$$ con lo cual, simplificando y extrayendo la raíz cuadrada, vemos que $$v=\sqrt{2\,g\,(s\cdot\sin(\theta))}$$ Con los datos propuestos, $$v=\sqrt{2\cdot 10 \cdot (23 \cdot\sin(30^\circ))}=15\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$$ Es decir, se autodetiene cuando su velocidad es aproximadamente igual a $54\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$, que es más o menos, la velocidad de un ciclista en bajada, a velocidad de crucero. Notemos que, como ya es sabido, la velocidad alcanzada en un determinado punto así como el tiempo empleado en llegar hasta él no dependen de la masa del montañero.
También podemos calcular la velocidad de otra manera más simple: a partir de la cinemática del movimiento uniformemente acelerado, que recordemos tiene en nuestro caso una aceleración $a=g\,\sin(\theta)$. Entonces, $v(t)=v_0+a\,t$, donde $v_0=0\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$, por tener velocidad inicial nula al empezar a caer. Así pues, con los datos del ejemplo, tenemos que de (1), $v(3)=0+(10\cdot \sin(30^\circ))\cdot 3=15\,\dfrac{\text{m}}{s}$.
¿Qué ocurre si nuestro montañero no se apresta a iniciar la autodetención, tardando para ello incluso más de tres segundos? Huelga decir que, por lo que estamos viendo, a ser posible, no debería tardar ni un segundo a iniciar la autodetención. Observemos que si hubiese tardado pongamos que $5\,\text{s}$ a reaccionar para iniciar la maniobra de autodetención, la longitud de la caída hasta ese momento hubiese sido ya $$s(5)=\dfrac{1}{2}\,g\,\sin(\theta)\,t^2=\dfrac{1}{2}\cdot 10 \cdot \sin(30^\circ)\,5^2 \approx 63 \,\text{m}$$ y la velocidad que habría alcanzado en ese momento $$v(5)=(10\cdot \sin(30^\circ))\cdot 5= 25\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$$, que expresado en kilómetros por hora (para tener una idea comparativa con la velocidad de los vehículos del tráfico rodado) equivale a $90\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$, una velocidad de sobra peligrosa ya, por la posibilidad de impactar durante la caída con alguna roca o bien con una convexidad (que pudiese provocar un efecto de trampolín) que pudiese haber en la rampa.
Y, además, en el caso de que el ángulo de inclinación de la rampa hubise sido mayor, pongamos que $45^\circ$, y, como antes, hubiese tardado $5\,\text{s}$ a reaccionar, iniciando entonces la maniobra de autodetención, la longitud de la caída hasta ese momento hubiese sido desde luego mayor: $$\dfrac{1}{2}\,g\,\sin(\theta)\,t^2=\dfrac{1}{2}\cdot 10 \cdot \sin(45^\circ)\,5^2 \approx 88 \,\text{m}$$ y la velocidad que habría alcanzado en ese momento hubiese sido de $(10\cdot \sin(45^\circ))\cdot 5\approx 35\,\dfrac{\text{m}}{s}$, que, expresado en kilómetros por hora (para tener una idea comparativa con la velocidad de los vehículos del tráfico rodado), equivale a $126\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$, una velocidad que, desde luego, no permitiría la autodetención.
Bien, pues ahora, estimemos, para el primer ejemplo numérico, la longitud que tendrá que deslizarse hasta detener por completo su movimiento, al hundir el pico del piolet en la nieve dura, en posición de autodetención, y subsolando la superficie de la pendiente por la que desliza para ejercer un trabajo mecánico al ejercer la fuerza $F_f$ ('f', de frenada) que ha de aplicar de manera (supuestamente) constante para poder detenerse. Denotaremos por $s_f$ ('f', de frenada) la longitud de esa parte de la caída que recorrerá "arando" la nieve dura actuando sobre con el pico del piolet (en posición básica de autodetención, desde luego).
En el primer ejemplo numérico que hemos expuesto arriba (en el que el montañero de masa igual a $80\,\text{kg}$ ha tardado $3\,\text{s}$ a iniciar la maniobra de autodetención), a la longitud ya descendida (en movimiento acelerado) de $23 \,\text{m}$ tendremos que sumar la longitud de descenso en frenada $s_f$, hasta detenerse, que será nuestra incóngnita en la ecuación que vamos a plantear, aplicando, otra vez el principio de conservación de la energía mecánica. De una parte tenemos la diferencia de energía potencial gravitatoria entre el punto en el que inició la caída y el punto en el que se va a dentener, y de otra el trabajo resultante efectuado por el montañero actuar sobre la nieve dura con el pico de su piolet mientras desliza a lo largo de dicha distancia $s_f$: $$m \cdot g \cdot (s+s_f)\cdot \sin(\theta)=F_f\cdot s_f$$ Entonces, agrupando los términos que lleven la incógnita: $$m\cdot g\cdot s \cdot \sin(\theta)=F_f\cdot s_f-m\cdot g\cdot s_f\cdot \sin(\theta)$$ luego $$m\cdot g\cdot \sin(\theta)\cdot s=(F_f-m\cdot g\cdot \sin(\theta))\cdot s_f$$ y despejando $s_f$, $$s_f=\dfrac{m\cdot g\cdot \sin(\theta)\cdot s}{F_f-m\cdot g\cdot \sin(\theta)}$$ por lo que tendrá que suceder, necesáriamente, que $F_f-m\cdot \sin(\theta) \gt 0$, esto es $F_f \gt m\cdot g \cdot \sin(\theta)$. En este ejemplo numérico supondremos que $F_f=500\,\text{N}$.
Así pues, con estos datos: $$s_f=\dfrac{80\cdot 10\cdot \sin(30^\circ)\cdot 23}{500-80\cdot 10\cdot \sin(30^\circ)} \approx 16 \,\text{m}$$ Por tanto, en total, nuestro montañero habrá descendido en su caída una longitud igual a $$23+16 \approx 39\,\text{m}$$ $\diamond$
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