Un ejemplo/ejercicio de cálculo de errores propagados a través de los cálculos

Queremos calcular el área de un triángulo del que se han medido sus tres lados: $a=8,12\,\text{m}$ (3 c.s.), $=4,3\,\text{m}$ (2 c.s.) y $c=7,25\,\text{m}$ (3 c.s.). También nos proponemos calcular el intervalo de incertidumbre en el que se encuentra el valor verdadero.

Emplearemos la fórmula de Herón para cualcular el área: $A=\sqrt{s\,(s-a)\,(s-b)\,(s-c)}$, denotando por $s$ el semiperímetro, $s=\dfrac{a+b+c}{2}$. Sustituyendo los datos y haciendo el cálculo obtenemos el siguiente valor $A\overset{2 c.s.}{\approx} 15\,\text{m}^2$.

Para calcular el error en la propagación a través del cálculo del área del triángulo, partiremos de las cotas de error absoluto de los datos, atendiendo a la precisión de los mismos, que viene dada por el número de cifras significativas de cada uno: $\Delta_a=\Delta_c=0,005\,\text{m}$ y $\Delta_b=0,05\,\text{m}$

Por otra parte, entendamos el cálculo de la misma como la función de varias variables $f(a,b,c)=\sqrt{s\,(s-a)\,(s-b)\,(s-c)}$ donde $s=\dfrac{1}{2}\,(a+b+c)$. Entonces, podemos escribir la expresión diferencial $$dA=\dfrac{\partial\,A}{\partial\,a}\,da+\dfrac{\partial\,A}{\partial\,b}\,db+\dfrac{\partial\,A}{\partial\,c}\,dc$$ cuya versión en incrementos finitos, para valores pequeños de los incrementos finitos de los datos, es: $$\Delta_A=\left|\dfrac{\partial\,A}{\partial\,a}\right|\,\Delta_a+\left|\dfrac{\partial\,A}{\partial\,b}\right|\,\Delta_b+\left|\dfrac{\partial\,A}{\partial\,c}\right|\,\Delta_c \quad (1)$$ Dichos incrementos finitos representan las cotas de valor absoluto de las magnitudes que aparecen en la fórmula. Así podemos calcular la cota de error del valor del área (primer miembro) obtenida a partir del cálculo.

Calculemos la derivadas parciales:
$\dfrac{\partial\,A}{\partial\,a}=\dfrac{1}{2\,\sqrt{s\,(s-a)\,(s-b)\,(s-c)}}\cdot (s\,(s-a)\,(s-b)\,(x-c))'_a$
donde $(s\,(s-a)\,(s-b)\,(x-c))'_a=$
    $=s'_a\,(s-a)\,(s-b)\,(s-c)+s\,(s-a)'_a\,(s-b)\,(s-c)+$
            $+s\,(s-a)\,(s-b)'_a\,(s-c)+s\,(s-a)\,(s-b)\,(s-c)'_a$
$\dfrac{\partial\,A}{\partial\,b}=\dfrac{1}{2\,\sqrt{s\,(s-a)\,(s-b)\,(s-c)}}\cdot (s\,(s-a)\,(s-b)\,(x-c))'_b$
donde $(s\,(s-a)\,(s-b)\,(x-c))'_b=$
    $=s'_b\,(s-a)\,(s-b)\,(s-c)+s\,(s-a)'_b\,(s-b)\,(s-c)+$
            $+s\,(s-a)\,(s-b)'_b\,(s-c)+s\,(s-a)\,(s-b)\,(s-b)'_b$
$\dfrac{\partial\,A}{\partial\,a}=\dfrac{1}{2\,\sqrt{s\,(s-a)\,(s-b)\,(s-c)}}\cdot (s\,(s-a)\,(s-b)\,(x-c))'_c$
donde $(s\,(s-a)\,(s-b)\,(x-c))'_c=$
    $=s'_c\,(s-a)\,(s-b)\,(s-c)+s\,(s-a)'_c\,(s-b)\,(s-c)+$
            $+s\,(s-a)\,(s-b)'_c\,(s-c)+s\,(s-a)\,(s-b)\,(s-c)'_c$
siendo $s'_a=s'_b=s'_c=\dfrac{1}{2}$; $(s-a)'_a=(s-b)'_b=(s-c)'_c=-\dfrac{1}{2}$ y
    $(s-a)'_b=(s-a)'_c=(s-b)'_a=(s-b)'_c=(s-c)'_a=(s-c)'_b=\dfrac{1}{2}$

Obteniéndose:
$\dfrac{\partial\,A}{\partial\,a}=\dfrac{\partial\,A}{\partial\,b}=\dfrac{\partial\,A}{\partial\,c}=\dfrac{1}{8}\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(-a+b+c)(a+b-c)}{(a-b+c)}}$, y sustituyendo los valores de los datos:
$\left(\dfrac{\partial\,A}{\partial\,a}\right)_{a=8.12, b=4.3, c=7.25}=\left(\dfrac{\partial\,A}{\partial\,b}\right)_{a=8.12, b=4.3, c=7.25}=\left(\dfrac{\partial\,A}{\partial\,c}\right)_{a=8.12, b=4.3, c=7.25}=$
      $=\dfrac{1}{8}\sqrt{\dfrac{(8.12+4.3+7.25)(-8.12+4.3+7.25)(8.12+4.3-7.25)}{(8.12-4.3+7.25)}}=3.46019$

Finalmente, sustituyendo en la fórmula $(1)$ llegamos a:
  $\Delta_A=3.46019\cdot (2\cdot 0.005+0.05)\overset{2 c.s.}{\approx}0.21\,\text{m}^2 \therefore A \in [15-0.21\;,\;15+0.21]=[14.79\;,\;15.21]\,\text{m}^2$, dicho de otra manera, $A=15\,\pm\,0.21\,\text{m}^2$   $\diamond$