El nonius (nonio) o vernier (1) sirve para mejorar la sensibilidad de los aparatos que se utilizan para la medida de longitudes. La misma idea se aplica para aumentar la sensibilidad de los aparatos que sirven para medir amplitudes angulares. Unos cuantos ejemplos muy conocidos del uso del vernier son el pie de rey (o calibre), el palmer (o micrómetro), en un sextante, el teodolito, o el goniómetro con nonius (muy necesario en muchas máquinas herramientas, como las fresadoras, para el mecanizado de piezas de precisión).
Un nonius consiste en una regla (dividida en partes iguales) sobre la que se hace deslizar una reglilla/nonius (dividida también con su propia graduación, también en partes iguales) de manera que $n_r-1$ divisiones de la regla comprendan $n_N$ divisiones de la reglilla o nonius, por lo que la longitud de cada división del nonius, $d_N$, es algo más pequeña que la de cada división de la reglilla, $D_r$. Así, la sensibilidad, $s$, que obtenemos viene dada por la diferencia $D_r-d_N$; donde, lógicamente, $d_{N}\cdot n_r$ ha de ser igual a $D_{r}\cdot (n_r-1)$, luego la longitud de cada división del nonius viene dada por $$d_N=\dfrac{D_{r}\cdot (n_{r}-1)}{n_N}$$
Con el añadido del nonius a la reglilla, la sensibilidad que conseguimos se deduce ahora fácilmente $$s:=D_r-d_N=D-\dfrac{D_{r}\cdot (n_{r}-1)}{n_N}=\dfrac{D_r}{n_N}$$ mientras que, sin la incorporación del nonius, dicha sensibilidad sería en tal caso la de una unidad de la regla, esto es, $s_{\text{regla}}=D_r=1\,\text{mm}$, una sensibilidad grosera, que se afina mucho más con el uso del nonius: $s_{\text{pie de rey}}\dfrac{D_r}{n_N}\lt 1$, por ser $n_{N}$>1
Así, por ejemplo, un pie de rey en el que el nonius conste de $n_N=50$ divisiones, siendo $D_r=1\,\text{mm}$ (la longitud de cada división de la regla), logramos una sensibilidad $s_{\text{pie de rey}}=\dfrac{1}{50}\,\text{mm}=0,02\,\text{mm}$ (dos centésimas de milímetro).
Tanto la amplitud máxima de medida del pie de rey (máximo desplazamiento de la reglilla/nonius sobre la regla) como la sensibilidad vienen grabadas en el aparato de la forma «amplitud x sensibilidad». Por ejemplo, en el pie de rey que tengo encima de mi mesa leo «$150\times 0.02\,\text{mm}$»; la primera cantidad es la amplitud máxima de medida (puedo medir longitudes que no sean mayores que «150 mm», con una sensibilidad de $2$ centésimas de milímetro.
Acabemos haciendo una generalización. Lo dicho anteriormente acerca de que $n_{r}-1$ divisiones de la regla comprendan $n_N$ divisiones del nonius puede generalizarse: podemos diseñar un nonius de tal manera que $n_r$ divisiones de la regla comprendan $m_N$ divisiones del nonius; donde, lógicamente, tengamos que $m_{N}\gt n_r$. Con lo cual, la expresión que nos da la sensibilidad es, en general, $$s:=D_r-d_N=D_r-\dfrac{D_{r}\cdot n_{r}}{n_N}=\dfrac{D_{r}\cdot (n_{N}-n_r)}{n_N}$$ en particular, si $n_r=n_N-1$ recuperamos lo que arriba hemos descrito. $\square$
Con el añadido del nonius a la reglilla, la sensibilidad que conseguimos se deduce ahora fácilmente $$s:=D_r-d_N=D-\dfrac{D_{r}\cdot (n_{r}-1)}{n_N}=\dfrac{D_r}{n_N}$$ mientras que, sin la incorporación del nonius, dicha sensibilidad sería en tal caso la de una unidad de la regla, esto es, $s_{\text{regla}}=D_r=1\,\text{mm}$, una sensibilidad grosera, que se afina mucho más con el uso del nonius: $s_{\text{pie de rey}}\dfrac{D_r}{n_N}\lt 1$, por ser $n_{N}$>1
Así, por ejemplo, un pie de rey en el que el nonius conste de $n_N=50$ divisiones, siendo $D_r=1\,\text{mm}$ (la longitud de cada división de la regla), logramos una sensibilidad $s_{\text{pie de rey}}=\dfrac{1}{50}\,\text{mm}=0,02\,\text{mm}$ (dos centésimas de milímetro).
Tanto la amplitud máxima de medida del pie de rey (máximo desplazamiento de la reglilla/nonius sobre la regla) como la sensibilidad vienen grabadas en el aparato de la forma «amplitud x sensibilidad». Por ejemplo, en el pie de rey que tengo encima de mi mesa leo «$150\times 0.02\,\text{mm}$»; la primera cantidad es la amplitud máxima de medida (puedo medir longitudes que no sean mayores que «150 mm», con una sensibilidad de $2$ centésimas de milímetro.
Acabemos haciendo una generalización. Lo dicho anteriormente acerca de que $n_{r}-1$ divisiones de la regla comprendan $n_N$ divisiones del nonius puede generalizarse: podemos diseñar un nonius de tal manera que $n_r$ divisiones de la regla comprendan $m_N$ divisiones del nonius; donde, lógicamente, tengamos que $m_{N}\gt n_r$. Con lo cual, la expresión que nos da la sensibilidad es, en general, $$s:=D_r-d_N=D_r-\dfrac{D_{r}\cdot n_{r}}{n_N}=\dfrac{D_{r}\cdot (n_{N}-n_r)}{n_N}$$ en particular, si $n_r=n_N-1$ recuperamos lo que arriba hemos descrito. $\square$
Notas:
(1) Pierre Vernier (1580-1637), matemático francés que mejoró la sensibilidad de los instrumentos de medida de longitudes y ángulos, gracias al dispositivo que ideó para todos ellos, el nonius (o vernier<(i>) el cual consiste en una subescala superpuesta a la escala principial. Ejemplos de dichos instrumentos son el pie de rey, el palmer (o micrómetro), y los goniómetros de precisión.
Referencias:
[1] BURBANO, S. et. al., Física General, Tébar, Madrid, 2007 (32ª edición)
[2] BURBANO, S. et. al., Problemas de Física, Tébar, Madrid, 2007 (27ª edición)
[3] vv.aa., Nonio, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Nonio]
[4] vv.aa., Pierre Vernier, Wikipedia [https://fr.wikipedia.org/wiki/Pierre_Vernier_(mathématicien)]
[5] vv.aa., Consulta de diversos instrumentos de medida, con las siguientes palabras clave: pie de rey, palmer, teodolito, goniómetro, etc., Wikipedia
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