Modelos matemáticos de la transmisión de enfermedades infecciosas

La necesidad de prever la evolución de una pandemia es crucial a la hora de poder disponer de los medios sanitarios necesarios para atender a la población infectada.

La modelización matemática, así como el estudio de las simetrías geométricas en el caso de los virus, y la elaboración e implementación de los modelos computacionales sobre los aspectos biofísicos de los microorganismos infecciosos (física de membranas y proteínas), y el trabajo experimental en esta dirección —véase la raeferencia [3]— pueden ayudar a encontrar medicamentos que permitan encontrar vacunas (Wikipedia) eficaces, y acaso también vacunas inmunizantes.
  Las dos conferencias referidas abajo —vénase las raeferencias [1] y [2]— se centran principalmente en la exposición de diversos modelos matemáticos de transmisión de enfermedades infecciosas en una población, tales como el ya veterano modelo SIR —consistente en el plateamiento y resolución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias— y los diversos modelos derivados de éste, tales como el modelo SEIR. También se habla de los modelos basados en el estudio de series temporales, y de los modelos estocásticos, como por ejemplo los basados en cadenas de Markov.
  Para dar un vistazo al estado actual de la investigación en estos (y otros) campos se sugiere la consulta en el repositorio de prepublicaciones científicas arXiv.org.

Nota:
SE me ocurre que puede ser importante el tener en cuenta que, con respecto a los modelos predictivos basados en ecuaciones diferenciales (SIR, SEIR, y otros), su implementación computacional podría presentar sensibilidad extrema a las condiciones iniciales, esto es, lo que viene a denominarse caos determinista (Wikipedia), tal y como sucede, por ejemplo, con el célebre sistema de ecuaciones diferenciales de Lorenz para la predicción computacional en meteorología.

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Para saber más...
  Materiales de divulgación en vídeo (conferencias):
    [1] Manuel de León (matemático): Las matemáticas de la pandemia (grabación de la conferencia, disponible en el canal de YouTube de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales)
    [2] Carlos Pena (físico teórico): Física de partículas en la lucha contra la pandemia (grabación de la conferencia, disponible en el canal de YouTube del Instituto de Física Teórica)
  Materiales de divulgación en vídeo sobre algunas investigaciones relevantes en biofísica acerca del estudio de proteínas y membranas:
    [3] varios autores: Acerca de la investigación en membranas y proteínas (Presentación de las actividades de investigación en biofísica del Centro de Física de la Materia Condensada de la UAM

Precisión y exactitud en la medida

Precisión y exactitud no son sinónimos, pues son conceptos distintos. Veamos qué entendemos por una cosa y qué entendemos por la otra.

Decimos que en una serie de medidas hay tanta mayor precisión cuánto menor es la dispersión estadística del conjunto. Por otra parte, la exactitud se define en cambio como la diferencia entre el promedio de las medidas (de la serie de medidas) y el valor verdadero (o el valor considerado como una buena aproximación a éste): cuánto menor sea esta diferencia mayor exactitud habrá en el sistema de medida.
  Así pues podemos extraer de las definiciones de estos dos términos un clara conclusión, para, por lo menos, no cometer abusos de lenguaje, tan habituales en lo cotidiano: debido básicamente a la existencia de errores sistemáticos, el asegurar una buena precisión no conlleva necesariamente tener también exactitud; y el realizar una sóla medida cuyo resultado sea muy próximo al valor exacto no conlleva necesariamente el tener una buena precisión en el sistema de medida, pues bien pudiese ser que dicho resultado se debiese a la (buena) suerte.
  Consideremos, por ejemplo, el símil del lanzador de dardos es muy ilustrativo: un sólo lanzamiento (una sóla medida) puede dar en el centro de la diana (resultado exacto) por pura «chiripa», sin que, por tanto, el poco habilidoso lanzador muestre con ello tener una buena puntería (precisión). Si se tratase de un mal lanzador, al repetir unos cuántos lanzamientos, veríamos que sus resultados son muy dispersos, luego estaría muy claro que no es muy habilidoso (no tiene precisión).
  Por otra parte, un buen lanzador (con buena puntería) pudiese ser que, al lanzar sus dardos (realizar mediciones), estos fuesen a dar regularmente en una misma zona muy reducida de la diana, pero no en el centro; a pesar de su habilidad (precisión), el resultado de su intervención no tendría en tal caso mucha exactitud (o no toda la que podría tener) pues, por ejemplo, bien pudiera ser que alguna causa que se supone que él no puede controlar — sin tener él opción a corregir los tiros sucesivos (por la razón que fuese)— desviase sistemáticamente los dardos hacia una determinada zona de la diana cuando el habilidoso lanzador apuntase al centro de la diana. $\diamond$

Un vistazo a la física de partículas

Si bien existen muchas partículas subatómicas, no puede decirse que todas ellas sean partículas elementales, ya que la mayoría se componen de las que sí lo son (elementales), por no estarlo éstas, a su vez, de otras que sean subyacentes. Cada partícula, desde el punto de vista de la teoría cuántica de campos, viene a ser la excitación de un campo cuántico asociado a la misma. Sin embargo, hoy en día se sabe que el conocimiento sobre la materia y la energía de nuestro universo es de alrededor del $4\,\%$, ya que el $96\,\%$ restante está formado por lo que viene a donominarse materia y energía oscuras, puesto que, aunque no se sepa aún qué son, existen razonamientos cosmológicos basados en las observaciones experimentales en astrofísica y astronomía que nos llevan a deducir su existencia. A pesar de ello, el modelo estándar de la física de partículas, junto con el modelo estádar de la cosmología, dan buenas y esperanzadoras razones (si bien con alguna incosistencia y alguna cosa aún no explicada), por lo menos en lo que se refiere a esta pequeña parte conocida de este universo nuestro. Por otra parte, queda pendiente el gran reto de la física teórica: el de encontrar un modelo satisfactorio que incorpore la explicación de la interacción gravitatoria a las otras tres interacciones (electromagnética, fuerte, y débil), esto es, en sus fundamentos, el de unificar la física cuántica y la teoría general de la gravitación de Einstein.

Las partículas elementales del modelo estándar
Según el modelo estándar de la física de partículas (fundamentado en la teoría cuántica de campos), existen las siguientes partículas elementales: $3$ pares de quarks ($6$ quarks en total); $6$ leptones; y $4$ bosones mediadores de las interacciones electromagnética, fuerte, y débila, además del boson que da la masa de todas las partículas (el bosón de Higgs, $H$) y que representa el correspondiente campo cuántico (el campo de Higgs).
  La partícula mediadora de la interacción electromagnética es el fotón (que se designa por $\gamma$); la de la interacción fuerte es el gluón (designado mediante la letra $g$); y los bosones $W^+$, $W^-$, y $Z^0$ que son los mediadores de la i. débil—
  El electrón ($e$), el muon ($\mu$) y el tau ($\tau$) tienen carga eléctrica $-1$, junto con un neutrino ($\nu$) —la carga eléctrica de un neutrino es $0$, y su masa es muy pequeña, pero no nula— asociado a cada una de esas partículas (el neutrino electrónico para el electrón, el neutrino muónico para el muon, y el neutrino tauónico para el tau) conforman los seis leptones.
  Los quarks y los leptones son fermiones —el valor del número cuántico de espín de esas partículas es semientero— y por tanto siguen la estadística de Fermi-Dirac.
  En cuanto a la masa de los fermiones, parece ser que éstos se clasifican en tres familias (o generaciones), por ser cada una de esas familias más masiva que la anterior: la primera generación (o familia) menos masiva está formada por el electrón, el neutrino electrónico, el quark arriba, y el quark abajo; la segunda, está formada por el muon, el neutrino muónico, el quark extraño, y el quark encantado; y la tercera, por el tauón, el neutrino tauónico, el quark fondo, y el quark cima.
  Se sabe que el valor del número cuántico de espín de los bosones es entero y siguen la estadística de Bose-Einstein; su carga eléctrica es nula, salvo la de los bosones $W$, los cuales pueden tener carga positiva (los bosones $W^+$) o bien negativa (los bosones $W^-$).
  Los seis quarks —cada uno de ellos no se han encontrado de forma individual, aislado de los demás— conforman otras partículas (no fundamentales) tales como los protones y los neutrones del núcleo de los átomos, que son los llamados hadrones. Así, por ejemplo, se sabe que un protón es la asociación de dos quarks llamados arriba y un quark llamado abajo —cada quark arriba tiene una carga eléctrica positiva igual a $2/3$, y un quark abajo tiene una carga eléctrica de $-1/3$, con lo cual, y como es sabido, dan el valor de la carga de un protón es $+1$—, y cada neutron (cuya carga eléctrica es $0$) está compuesto de dos quarks abajo y un quark arriba. Existen tres parejas de quarks: el q. arriba,$u$ (del inglés up) y el q. abajo, $d$ (del inglés down); el q. encantado, $c$ (del inglés charm) y el q. extraño, $s$ (del inglés strange), y q. cima, $t$ (del inglés top) y el q. fondo, $b$ (del inglés bottom).

Las partículas no elementales
Desde luego, las asociaciones de partículas elementales constituyen las partículas no elementales. Así, las asociación quarks pueden dar lugar a partículas con tres quarks (hadrones); o bien, asomándonos un poquito a la intervención de las partículas de antimateria, a los mesones —su existencia fue predicha por Hideki Yukawa en 1935—, que son la asociación de un quark y un antiquark (de otro quark) envuelta en un «mar» de otros pares quark-antiquark y gluones virtuales. Los mesones tienen espín entero, luego se clasifican como bosones. El pion es un ejemplo de mesón. Sorprendentemente, parece ser que los mesones perciben tanto las interacciones fuertes como la interacción gravitatoria.

La materia y la energía conocidas de nuestro universo. Lo mucho que queda por conocer
Como ya he comentado al prinicipio del artículo, las partículas elementales y sus asociaciones en partículas que no lo son constituyen solamente un $4\,\%$ de la materia conocida de nuestro universo, según las estimaciones que se han hecho: la materia ordinaria o materia bariónica, la cual está formada por bariones, que son fermiones que sienten la fuerza fuerte —(hadrones y leptones, salvo determinados tipos de neutrinos)—. El $96\,\%$ restante de nuestro universo está formado por materia y energía oscuras, que aún no se sabé qué son (enero de 2022). Todo lo que queda por conocer quizá requiera nueva física para ser explicado y entendido, además (y acaso a la par) de encontrar nuevas y exóticas partículas. Así pues, en física, como todo en ciencia, los modelos y las teorías son provisionales, a pesar de sus muchos y fascinantes éxitos.

Notas
  En esta tabla se resume la clasificación de las partículas elementales del modelo estándar de la física de partículas, y en el siguiente diagrama puede apreciarse las relaciones funcionales de las mismas. $\square$

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Referencias:
  [1] vv.aa. (coordinados por Carlos Sánchez del Río), Física Cuántica, Pirámide, Madrid, 2008
  [2] vv.aa., Tabla de las tres familias de partículas elementales según el modelo actual de la física de partículas, [Wikipedia], consultado en enero de 2022
  [3] vv.aa., Diagrama de relaciones de las partículas elementales del modelo estándar de la física de partículas, [Wikimedia Commons], cpnsultado en enero de 2022
  [4] vv.aa., Teoría cuántica de campos, [Wikipedia], consultado en enero de 2022
  [5] Southorn, G.; Sparrow, G., Física. Cien conceptos, Librero, Madrid, 2020

Acerca de la ecuación de Drake para estimar el número de posibles civilizaciones que puedan establecer comunicaciones con otras de la misma Vía Láctea (nuestra galaxia)

En el año 1961, el entonces presidente del instituto SETI, Franc Drake (n. 1961) propuso una fórmula muy sencilla para estimar el número de civilizaciones de la Vía Láctea, $N$, capaces de enviar mensajes de radio para intentar comunicarse con otras civilizaciones que puedan recibir y descodificar los mensajes (como la nuestra).

Dicha fórmula es la siguiente: $$N=R_{\star}\cdot f_{\text{p}}\cdot n_{i}\cdot f_{\ell}\cdot f_{i} \cdot f_{c} \cdot L$$ donde
  $R$ designa el número total de estrellas en la Vía Láctea, nuestra galaxia, el cual se estima que es del orden de $10^{11}$
  $f_{p}$ representa el número de esas estrellas que tienen sistemas planetarios
  $ni$, es el número de planetas por cada uno de esos sistemas planetarios que puedan albergar vida, esto es, que se encuentren en la zona denominada «ricito de oro» de dichas estrellas
  $f_{\ell}$ representa la fracción de planetas con condiciones aptas para la vida en los que, además, pueda haber vida inteligente
  $f_{c}$ es la fracción de esos planetas en los que exista la posibilidad de enviar y recibir señales de radio con el propósito de establecer comunicación con otras civilizaciones de otros planetas
  $L$ es la fracción de tiempo de existencia, en uno de esos planetas, a lo largo del cual pueda desarrollarse una de esas civilización

Es claro que, salvo la estimación de $R$, las de los otros factores de la ecuación son muy toscas, con lo cual la estimación de $N$ también lo será. Por lo tanto, todo apunta a que, por el moemento (haciendo hipótesis razonables basadas en los hoy en día se conoce), dicha cantidad $N$ sea muy pequeña.$\diamond$
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Referencias:
  [1] Los hiperenlaces en el texto apuntan a páginas de Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia]
  [2] Álvaro de Rújula: ¿Estamos solos ...?. Conferencia en el canal de YouTube del Instituto de Física Teórica

El plano inclinado como máquina simple en mecánica

No es lo mismo elevar un cuerpo de masa $m$ (sometida a la acción de la gravedad) a una altura $b$ (medida desde el suelo) a «fuerza de brazos», ejerciendo una fuerza igual al peso de dicho cuerpo: $f=m\cdot g$, que empujándola por un plano inclinado de pendiente $0\lt \dfrac{b}{a}$, donde $a$ representa la longitud del cateto horizontal y $b$ la del vertical del plano inclinado, empujándolo —como veremos enseguida— con una fuerza $f_{\ell} \lt f$. Una vez arriba —se utilice o no una máquina— la energía potencial de dicho cuerpo es $m\cdot g \cdot b$ (donde $g$ es la intensidad del campo gravitatorio), es decir, $f \cdot b$ . Esta cantidad de energía es la que se tendrá que emplear para subir el cuerpo (con o sin máquina).
    Al subirlo por el plano inclinado habrá que realizar un trabajo (debido a la fuerza con la que se empuja dicho cuerpo) igual a $f_{\ell} \cdot \ell$ (siendo $f_{\ell}$ la componente de la fuerza paralela al plano inclinado y $\ell=\sqrt{a^2+b^2}$ la longitud de camino recorrido al empujar el plano por la pendiente —suponiendo que, idealmente, no haya rozamiento en la superficie de contacto del plano con el cuerpo—. Como la energía empleada en empujar el cuerpo por el plano inclinado ha de ser igual a la energía potencial del cuerpo una vez arriba (conservación de la energía) tendremos que $$f_{\ell}\cdot \ell=f \cdot b$$ luego $$\dfrac{f}{f_{\ell}}=\dfrac{\ell}{b} \gt 1 \quad \text{habida cuenta de que} \quad \ell \gt b$$ Denominamos ventaja mecánica a la razón $\dfrac{f}{f_{\ell}}\gt 1$; y, de la igualdad anterior, desde luego también podemos escribir que $$\dfrac{f_{\ell}}{f}=\dfrac{b}{\ell} \lt 1$$ con lo cual cabe decir que el úso del plano inclinado permite elevar el cuerpo realizando una fuerza menor que la del peso $f$; en concreto, la fuerza que hay que realizar es $f_{\ell}=\mu\,f$, donde $\mu=\dfrac{b}{a}=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \lt 1$.
    Así, por ejemplo, con un plano de inclinación igual a $45^{\circ}$ (la longitud de $a$ es igual a la de $b$), $\mu=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+a^2}}=\dfrac{a}{a\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.71$, y podemos decir que la fuerza $f_{\ell}$ con la que hay que empujar el cuerpo por la rampa es un $71\,\%$ del peso del cuerpo, y que la ventaja mecánica de esta máquina simple (rampa) es $\dfrac{f}{f_{\ell}}=\sqrt{2}$. $\square$