Cálculo de la velocidad de escape (de un cierto planeta, de masa $M$) a la que, como velocidad inicial, debe lanzarse un cuerpo de masa $m$ nde d

Consideremos un cuerpo de masa $m$ que se lanza desde la superficie de un cierto planeta (de masa $M$) a una cierta velocidad inicial $v_e$. ¿Cómo podemos calcular dicha velocidad para que el cuerpo pueda escapar de la atracción gravitatoria del planeta?.

Tengamos en cuenta que no se trata del lanzamiento de un cohete (que parten con una velocidad inicial nula), sino que la situación corresponde más bien al lanzamiento de una bala de cañón, como en la famosa novela de Julio Verne, De la Tierra a la Luna.

Suponemos que el estado final del cuerpo (proyectil) es la de llegar a distancia infinita (energía potencial igual a cero) alcanzando entonces un estado de resposo, a velocidad nula (energía cinética final igual a cero); siendo por tanto entonces su energía mecánica igual a cero. Por el teorema de conservación de la energía mecánica, $$E_{\text{mecánica inicial}}=E_{\text{mecánica final}}$$ Entonces, como $E_{\text{mecánica inicial}}=-G\dfrac{M\,m}{R}+\dfrac{1}{2}\,m\,v_{e}^2$ y $E_{\text{mecánica final}}=0$, podemos escribir $$-G\dfrac{M\,m}{R}+\dfrac{1}{2}\,m\,v_{e}^2=0 \Rightarrow v_e=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$$ Nota: A la vista del resultado, es importante remarcar que la velocidad de escape no depende de la masa del cuerpo que se lance.

Así, por ejemplo, en el caso de la Tierra, $M_T=5,9722 × 10^{24}\,\text{kg}$ y $R_T=6,378\times 10^{6}\,\text{m}$, y teniendo en cuenta que la constante gravitacional universal es $G=6,67\times 10^{-11}\,\dfrac{\text{N}\,\text{m}^2}{\text{kg}^2}$, la velocidad de escape es $v_e\approx 1,118 \times 10^4\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}=11,18\,\dfrac{\text{km}}{s}.\;\diamond$

Descarga de un condensador

Consideremos un condensador de capacidad $C$, cargado, el cual queremos descargar a través de una resitencia $R$ conectándola a las placas de dicho condensador. Sabemos que la corriente que circula en cada instante de tiempo, $I(t)$, es tal que la diferencia de potencial entre las placas (en cada instante) va decreciendo en tanto al ritmo en que la carga que aún está almacenada en las placas del condensador vaya menguando, esto es, $V(t)=-\dfrac{Q(t)}{C}$, así que, por la ley de Ohm, podemos escribir esta igualdad de la forma $R\,I(t)=-\dfrac{Q(t)}{C}$, que es lo mismo que $R\,\dfrac{Q(t)}{dt}=-\dfrac{Q(t)}{C}$, con lo cual tenemos platedada una ecuación diferencial ordinaria EDO de variables separadas: $$\dfrac{dQ(t)}{Q(t)}=-\dfrac{1}{R\,C}\,dt$$ Integrando: $$\displaystyle \int\,\dfrac{dQ(t)}{Q(t)}=\int\,-\dfrac{1}{R\,C}\,dt$$ En consecuencia,
$\displaystyle \ln\,{Q(t)} = -\dfrac{1}{R\,C}\,t+C$, donde $C$ es la constante (arbitraria) de integración, que podemos, por conveniencia (como vamos a ver) escribirla de la forma $C:=\ln\,K$, siendo $K$ constante, luego $\displaystyle \ln\,{Q(t)} = -\dfrac{1}{R\,C}\,t+\ln\,K$ y por tanto luego $\displaystyle \ln\,{Q(t)}-\ln\,K = -\dfrac{1}{R\,C}\,t$, que es lo mismo que $\displaystyle \ln\,\dfrac{Q(t)}{K} = -\dfrac{1}{R\,C}\,t \Rightarrow Q(t)= K\,e^{-t/RC}$. Observemos que $[RC]=T$, lo que nos lleva a definir este producto de parámetros como una constante de tiempo: $\tau:=\dfrac{1}{RC}$, y por tanto escribiremos la solución general de la EDO de la forma $$\displaystyle Q(t)= K\,e^{-t/\tau}$$ Imponiendo la condición inicial $Q(0)=Q_0$ (carga inicial almacenada) podemos determinar la correspondiente constante de integración $K$, así: $Q_0\,=K\,e^{0}=K\cdot 1=K \Rightarrow K=Q_0$; en consecuencia, el ritmo de la descarga viene dado por $$Q(t)=Q_0\,e^{-t/\tau}$$

Podemos ahora responder a preguntas del estilo: ¿en cuánto tiempo se disipa la mitad de la carga inicial almacenada a través de la resistencia? Fácilmente podemos calcularlo:
Como la carga almacenada en dicho instante es $Q(t)=\dfrac{1}{2}\,Q_0$, se tiene que $\dfrac{1}{2}\,Q_0=Q_0\,e^{-t/\tau}$, y simplificando, $\dfrac{1}{2}=e^{-t/\tau} \Rightarrow \ln\,\dfrac{1}{2}=-\dfrac{t}{\tau}$, esto es, $-\ln\,2=-\dfrac{t}{\tau}$, y por tanto, el tiempo pedido es $t=\tau\,\ln\,2$.

Por ejemplo, si $C=1\,\mu\,\text{F}=10^{-6}\,\text{F}$ y $R=10^{5}\,\Omega$, el tiempo necesario para que el condensador se quede con la mitad de la carga inicial es (recordemos que $\tau:=R\,C$): $t=10^{-6}\cdot 10^{5}\,\ln\,2\approx 0,070\,\text{s}=70\,\text{ms}. \diamond$