lunes, 22 de noviembre de 2021
viernes, 19 de noviembre de 2021
El nonio: la maravillosa invención de Pierre Vernier (1580-1637)
El nonius (nonio) o vernier (1) sirve para mejorar la sensibilidad de los aparatos que se utilizan para la medida de longitudes. La misma idea se aplica para aumentar la sensibilidad de los aparatos que sirven para medir amplitudes angulares. Unos cuantos ejemplos muy conocidos del uso del vernier son el pie de rey (o calibre), el palmer (o micrómetro), en un sextante, el teodolito, o el goniómetro con nonius (muy necesario en muchas máquinas herramientas, como las fresadoras, para el mecanizado de piezas de precisión).
Un nonius consiste en una regla (dividida en partes iguales) sobre la que se hace deslizar una reglilla/nonius (dividida también con su propia graduación, también en partes iguales) de manera que $n_r-1$ divisiones de la regla comprendan $n_N$ divisiones de la reglilla o nonius, por lo que la longitud de cada división del nonius, $d_N$, es algo más pequeña que la de cada división de la reglilla, $D_r$. Así, la sensibilidad, $s$, que obtenemos viene dada por la diferencia $D_r-d_N$; donde, lógicamente, $d_{N}\cdot n_r$ ha de ser igual a $D_{r}\cdot (n_r-1)$, luego la longitud de cada división del nonius viene dada por $$d_N=\dfrac{D_{r}\cdot (n_{r}-1)}{n_N}$$
Con el añadido del nonius a la reglilla, la sensibilidad que conseguimos se deduce ahora fácilmente $$s:=D_r-d_N=D-\dfrac{D_{r}\cdot (n_{r}-1)}{n_N}=\dfrac{D_r}{n_N}$$ mientras que, sin la incorporación del nonius, dicha sensibilidad sería en tal caso la de una unidad de la regla, esto es, $s_{\text{regla}}=D_r=1\,\text{mm}$, una sensibilidad grosera, que se afina mucho más con el uso del nonius: $s_{\text{pie de rey}}\dfrac{D_r}{n_N}\lt 1$, por ser $n_{N}$>1
Así, por ejemplo, un pie de rey en el que el nonius conste de $n_N=50$ divisiones, siendo $D_r=1\,\text{mm}$ (la longitud de cada división de la regla), logramos una sensibilidad $s_{\text{pie de rey}}=\dfrac{1}{50}\,\text{mm}=0,02\,\text{mm}$ (dos centésimas de milímetro).
Tanto la amplitud máxima de medida del pie de rey (máximo desplazamiento de la reglilla/nonius sobre la regla) como la sensibilidad vienen grabadas en el aparato de la forma «amplitud x sensibilidad». Por ejemplo, en el pie de rey que tengo encima de mi mesa leo «$150\times 0.02\,\text{mm}$»; la primera cantidad es la amplitud máxima de medida (puedo medir longitudes que no sean mayores que «150 mm», con una sensibilidad de $2$ centésimas de milímetro.
Acabemos haciendo una generalización. Lo dicho anteriormente acerca de que $n_{r}-1$ divisiones de la regla comprendan $n_N$ divisiones del nonius puede generalizarse: podemos diseñar un nonius de tal manera que $n_r$ divisiones de la regla comprendan $m_N$ divisiones del nonius; donde, lógicamente, tengamos que $m_{N}\gt n_r$. Con lo cual, la expresión que nos da la sensibilidad es, en general, $$s:=D_r-d_N=D_r-\dfrac{D_{r}\cdot n_{r}}{n_N}=\dfrac{D_{r}\cdot (n_{N}-n_r)}{n_N}$$ en particular, si $n_r=n_N-1$ recuperamos lo que arriba hemos descrito. $\square$
Con el añadido del nonius a la reglilla, la sensibilidad que conseguimos se deduce ahora fácilmente $$s:=D_r-d_N=D-\dfrac{D_{r}\cdot (n_{r}-1)}{n_N}=\dfrac{D_r}{n_N}$$ mientras que, sin la incorporación del nonius, dicha sensibilidad sería en tal caso la de una unidad de la regla, esto es, $s_{\text{regla}}=D_r=1\,\text{mm}$, una sensibilidad grosera, que se afina mucho más con el uso del nonius: $s_{\text{pie de rey}}\dfrac{D_r}{n_N}\lt 1$, por ser $n_{N}$>1
Así, por ejemplo, un pie de rey en el que el nonius conste de $n_N=50$ divisiones, siendo $D_r=1\,\text{mm}$ (la longitud de cada división de la regla), logramos una sensibilidad $s_{\text{pie de rey}}=\dfrac{1}{50}\,\text{mm}=0,02\,\text{mm}$ (dos centésimas de milímetro).
Tanto la amplitud máxima de medida del pie de rey (máximo desplazamiento de la reglilla/nonius sobre la regla) como la sensibilidad vienen grabadas en el aparato de la forma «amplitud x sensibilidad». Por ejemplo, en el pie de rey que tengo encima de mi mesa leo «$150\times 0.02\,\text{mm}$»; la primera cantidad es la amplitud máxima de medida (puedo medir longitudes que no sean mayores que «150 mm», con una sensibilidad de $2$ centésimas de milímetro.
Acabemos haciendo una generalización. Lo dicho anteriormente acerca de que $n_{r}-1$ divisiones de la regla comprendan $n_N$ divisiones del nonius puede generalizarse: podemos diseñar un nonius de tal manera que $n_r$ divisiones de la regla comprendan $m_N$ divisiones del nonius; donde, lógicamente, tengamos que $m_{N}\gt n_r$. Con lo cual, la expresión que nos da la sensibilidad es, en general, $$s:=D_r-d_N=D_r-\dfrac{D_{r}\cdot n_{r}}{n_N}=\dfrac{D_{r}\cdot (n_{N}-n_r)}{n_N}$$ en particular, si $n_r=n_N-1$ recuperamos lo que arriba hemos descrito. $\square$
Notas:
(1) Pierre Vernier (1580-1637), matemático francés que mejoró la sensibilidad de los instrumentos de medida de longitudes y ángulos, gracias al dispositivo que ideó para todos ellos, el nonius (o vernier<(i>) el cual consiste en una subescala superpuesta a la escala principial. Ejemplos de dichos instrumentos son el pie de rey, el palmer (o micrómetro), y los goniómetros de precisión.
Referencias:
[1] BURBANO, S. et. al., Física General, Tébar, Madrid, 2007 (32ª edición)
[2] BURBANO, S. et. al., Problemas de Física, Tébar, Madrid, 2007 (27ª edición)
[3] vv.aa., Nonio, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Nonio]
[4] vv.aa., Pierre Vernier, Wikipedia [https://fr.wikipedia.org/wiki/Pierre_Vernier_(mathématicien)]
[5] vv.aa., Consulta de diversos instrumentos de medida, con las siguientes palabras clave: pie de rey, palmer, teodolito, goniómetro, etc., Wikipedia
martes, 16 de noviembre de 2021
Quatre coses essencials sobre un aparell/sistema de mesura: sensibilitat, precisió, exactitud, i rapidesa
Quan hom parla d'un aparell/sistema de mesura cal tenir ben en compte quatre nocions essencials: la sensibilitat, la precisió, l'exactitud, i la rapidesa.
Sensibilitat
La sensibilitat d’un aparell de mesura es refereix al valor mínim de quantitat mesurada que és capaç de discriminar.
Precisió
Donat un determinat aparell de mesura, que farem servir per mesurar el valor d'una determinada magnitud, convindrem que si la diferència entre diverses mesures (d'una sèrie) d’aquesta mateixa magnitud és petita, l'aparell és precís.
Observació:
Per a cada cada tipus de mitjà de mesura s'ha convingut un límit d’error acceptable que dóna lloca a la noció de classes de precisió dels mitjans de mesura, terme que es pot trobar sovint als manuals de metrologia.
Exactitud
Direm que un aparell és prou exacte si el promig d'una sèrie de mesures que es realitzen amb aquest aparell és prou proper al valor considerat com a valor exacte/vertader de la magnitud mesurada.
Observació:
Per bé que exactitud implica precisió, la precisió no necessàriament implica l'exactitud, degut als errors sistemàtics. És, per això, que és molt més fàcil valorar la precisió d’un instrument/sistema de mesura que no pas la seva exactitud.
Rapidesa
La rapidesa en la mesura pot arribar a ser essencial a l'hora de prendre mesures en temps real per fer un registre d'una sèrie temporal i així poder enregistrar els valors d'una determinada variable d’un sistema dinàmic. Si el dispositiu de mesura no és prou ràpid és possible que el registre temporal dels valors de la dita variable del sistema estiguin desplaçats en el temps d'una manera imponderable, ja que, d’entrada, hom no disposa d'informació sobre el ritme de canvi entre els estats del sistema. $\square$
La sensibilitat d’un aparell de mesura es refereix al valor mínim de quantitat mesurada que és capaç de discriminar.
Precisió
Donat un determinat aparell de mesura, que farem servir per mesurar el valor d'una determinada magnitud, convindrem que si la diferència entre diverses mesures (d'una sèrie) d’aquesta mateixa magnitud és petita, l'aparell és precís.
Observació:
Per a cada cada tipus de mitjà de mesura s'ha convingut un límit d’error acceptable que dóna lloca a la noció de classes de precisió dels mitjans de mesura, terme que es pot trobar sovint als manuals de metrologia.
Exactitud
Direm que un aparell és prou exacte si el promig d'una sèrie de mesures que es realitzen amb aquest aparell és prou proper al valor considerat com a valor exacte/vertader de la magnitud mesurada.
Observació:
Per bé que exactitud implica precisió, la precisió no necessàriament implica l'exactitud, degut als errors sistemàtics. És, per això, que és molt més fàcil valorar la precisió d’un instrument/sistema de mesura que no pas la seva exactitud.
Rapidesa
La rapidesa en la mesura pot arribar a ser essencial a l'hora de prendre mesures en temps real per fer un registre d'una sèrie temporal i així poder enregistrar els valors d'una determinada variable d’un sistema dinàmic. Si el dispositiu de mesura no és prou ràpid és possible que el registre temporal dels valors de la dita variable del sistema estiguin desplaçats en el temps d'una manera imponderable, ja que, d’entrada, hom no disposa d'informació sobre el ritme de canvi entre els estats del sistema. $\square$
Referències:
[1] vv.aa., Precición y exactitud
[https://es.wikipedia.org/wiki/Precisión_y_exactitud], Wikipedia , 2008
[2] ARANES CLUA, J., Els errors en les mesures directes, autopublicació, 2008
[3] PROJOROV, A.M., Diccionario enciclopédico de la Física, Madrid, Mir-Rubiños, 1995
[4] AZUSTRE, M. et al. Estadística aplicada al laboratori, Barcelona, Ceysa, 2003.
Cantidades que resultan de las mediciones. Acerca de la cifra/dígito menos significativa
Los dígitos de las cantidades obtenidas (números en base decimal) como resultado de las mediciones se denominan cifras significativas. Si por ejemplo, se ha medido la longitud del lado de una mesa, obteniendo el valor $121\,\text{cm}$ diremos que ésta tiene tres cifras significativas (3 c.s.); y si la hemos medido con un instrumento capaz de afinar hasta los milímetros, obteniendo el valor $121,4$, diremos que el resultado de dicha medida tiene cuatro cifras significativas (4 c.s.). En este contexto, hablemos ahora de qué debemos entender por la cifra menos significativa de una cierta cantidad.
Cifra menos significativa en el caso de tratarse de un número entero
La cifra menos significativa de un número entero es el dígito que tiene el menor valor posicional, es decir, la que está situada más a la derecha; así, por ejemplo, la cifra menos significativa del número $234$ es el «4», ya que es la que está más a la derecha y es distinta de cero (la cifra de las unidades en este caso); sin embargo, entenderemos —como norma general— que los ceros a la derecha de una cantidad entera (medida) no son cifras significativas; así, por ejemplo, la cifra menos significativa de la cantidad (medida) $520$ es el «2» (la de las decenas, en este caso), por ser cero la última cifra a la derecha.
No obstante, bien pudiera ser que, por motivos plenamente justificados por el resultado de la medida, algunos de esos ceros a la derecha sí fuesen cifras significativas. En tal caso, lo notaremos escribiendo una coma decimal a la derecha del último cero; así, por ejemplo, si queremos dar a entender que el «0» de dicha cantidad sí es una cifra signicativa, y por ello escribiremos $520,$ en lugar de $520$.
Observación:
En computación y, concretamente, en programación de microcontroladores (a bajo nivel), cabe señalar que, al operar habitualmente en el sistema de numeración binaria, los bits «0» tienen tanta validez y consideración como los bits «1», como és bien claro. En ese contexto —no hablamos ahora de medidas, sino al procesado numérico de los datos— nos referimos a los bits por su peso posicional, del de mayor al de menor peso, del primero a la izquierda (el más significativo o de mayor peso posicional) al último a la derecha (el menos significativo o de menor peso posicional).
Cifra menos significativa en el caso de tratarse de un número decimal
Ahora bien, hay que tener en cuenta que si el número es decimal, el cero a la derecha de la parte decimal, de haberlo, sí que, en cualquier caso, también cuenta como cifra significativa; así, por ejemplo, diremos que la cifra menos significativa del número $2,680$ es el «0» (cifra de las milésimas, en este caso).$\square$
La cifra menos significativa de un número entero es el dígito que tiene el menor valor posicional, es decir, la que está situada más a la derecha; así, por ejemplo, la cifra menos significativa del número $234$ es el «4», ya que es la que está más a la derecha y es distinta de cero (la cifra de las unidades en este caso); sin embargo, entenderemos —como norma general— que los ceros a la derecha de una cantidad entera (medida) no son cifras significativas; así, por ejemplo, la cifra menos significativa de la cantidad (medida) $520$ es el «2» (la de las decenas, en este caso), por ser cero la última cifra a la derecha.
No obstante, bien pudiera ser que, por motivos plenamente justificados por el resultado de la medida, algunos de esos ceros a la derecha sí fuesen cifras significativas. En tal caso, lo notaremos escribiendo una coma decimal a la derecha del último cero; así, por ejemplo, si queremos dar a entender que el «0» de dicha cantidad sí es una cifra signicativa, y por ello escribiremos $520,$ en lugar de $520$.
Observación:
En computación y, concretamente, en programación de microcontroladores (a bajo nivel), cabe señalar que, al operar habitualmente en el sistema de numeración binaria, los bits «0» tienen tanta validez y consideración como los bits «1», como és bien claro. En ese contexto —no hablamos ahora de medidas, sino al procesado numérico de los datos— nos referimos a los bits por su peso posicional, del de mayor al de menor peso, del primero a la izquierda (el más significativo o de mayor peso posicional) al último a la derecha (el menos significativo o de menor peso posicional).
Cifra menos significativa en el caso de tratarse de un número decimal
Ahora bien, hay que tener en cuenta que si el número es decimal, el cero a la derecha de la parte decimal, de haberlo, sí que, en cualquier caso, también cuenta como cifra significativa; así, por ejemplo, diremos que la cifra menos significativa del número $2,680$ es el «0» (cifra de las milésimas, en este caso).$\square$
Referencias:
[1] ATKINS, P.;L. JONES, Chemical Principles. The Quest for insight, Freeman, NY, 2005. [Existe una traducción al castellano: Principios de Química (3ª edición, 1ª reimpresión), Panamericana, 2007]
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