Aplicación del formalismo de Lagrange al péndulo simple

Un cuerpo de masa $m$ está suspendido del techo mediante una cuerda de longituda $\ell$, de longitud constante (el sistema es escleronómico) y de masa despreciable (el sistema es holonómico) para poder oscilar en un mismo plano vertical, y se desprecia también el rozamiento. Nos proponemos encontrar la ecuación del movimiento, aplicando el formalismo de Lagrange.

Situaremos el origen de potencial gravitatorio en el punto más bajo de la trayectoria pendular, con lo que la energía potencial es $U=m\,g\,(\ell\,-\ell\,\cos\,\theta)$, siendo $\theta$ el ángulo que forma la cuerda con la vertical en una posición dada del péndulo. Por otra parte, la energía cinética de la masa que pende es $T=\dfrac{1}{2}\,m\,(\ell\cdot \dot{\theta})^2$. Con esto, podemos escribir ya la función lagrangiana $\mathcal{L}:=T-U$, que dependende únicamente de una variable (coordenada generalizada), $q\equiv \theta$: $$\mathcal{L}(\theta)=\dfrac{1}{2}\,m\,\ell^2\,\,\dot{\theta}^2-m\,g\,\ell\,(1-\cos\,\theta)$$

La ecuación de Lagrange (el sistema es conservativo) es $$\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{\theta}}\right)-\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\theta}=0 \quad \quad (1)$$

Calculemos los téminos de esta ecuación: $\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{\theta}}=m\,\ell^2\,\dot{\theta} \,\therefore\, \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\dot{\theta}}\right) = m\,\ell^2\,\ddot{\theta}$ y $\dfrac{\partial\,\mathcal{L}}{\partial\,\theta}=-m\,g\,\ell\,\sin\,\theta$

Entonces, sustituyendo en (1), encontramos la ecuación del movimiento: $$m\,\ell^2\,\ddot{\theta}+m\,g\,\ell\,\sin\,\theta=0$$ que, simplificada, queda $$\ell\,\ddot{\theta}+g\,\sin\,\theta=0$$

*** Nota (acerca de la tensión en la cuerda): Para encontrar la tensión de la cuerda, podemos aplicar directament las ecuaciones de Newton. Descomponiendo la fuerza que la gravedad ejerce sobre el péndulo en las direcciones tangencial y normal, vemos que esta última —que, por la condición de equilibrio, ha de ser igual a la tensión— es igual a $T=m\,g\,cos\,\theta$. Obsérvese que la tensión es máxima cuando $\cos\,\theta$ toma el valor máximo, y por tanto, cuando $\theta$ alcanza el valor $0$, esto es, cuando el péndulo pasa por el punto más bajo de su oscilación, situación en la cual $T_{\text{máxima}}=m\,g$. $\diamond$

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Referencias:

  [1] K.R. Symon, Mecánica, Aguilar, Madrid, 1977.
  [2] M.R. Spiegel, Mecánica teórica, McGraw-Hill, Mexico, 1976.